Zaman Serileri İçin Durağanlık Analizi – 2

İçindekiler

3. Sabit İçeren Rassal Yürüyüş Modeli Çerçevesinde Durağanlık Analizi

Aşağıda gösterilen sabit terimi bulunan model, $\displaystyle {Y_t}$ ’nin açıklanan ve $\displaystyle {Y_t}$ ’nin bir dönem gecikmeli değerinin açıklayıcı değişken olduğu rassal yürüyüş modelini temsil etmektedir.

$\displaystyle {Y_t} = \beta + \rho {Y_{t - 1}} + {\varepsilon _t}$

$\displaystyle \beta$ ifadesi, açıklayıcı değişkenler 0 iken açıklanan değişken $\displaystyle {Y_t}$ ’nin ortalamasını temsil eden bir sabittir.

n=3 basitleştirici varsayımı altında yukarıdaki modele göre $\displaystyle {Y_t}$ ’nin her alternatif t gözlemi için izlediği patika aşağıda gibi olacaktır.

t=1:

$\displaystyle {Y_1} = \beta + \rho {Y_0} + {\varepsilon _1}$

t=2:

$\displaystyle {Y_2} = \beta + \rho {Y_1} + {\varepsilon _2}$

$\displaystyle {Y_2} = \beta + \rho \underbrace {\left( {\beta + \rho {Y_0} + {\varepsilon _1}} \right)}_{{Y_1}} + {\varepsilon _2}$

$\displaystyle {Y_2} = \beta + \rho \beta + {\rho ^2}{Y_0} + \rho {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}$

t=3:

$\displaystyle {Y_3} = \beta + \rho {Y_2} + {\varepsilon _3}$

$\displaystyle {Y_3} = \beta + \rho \underbrace {\left( {\beta + \rho \beta + {\rho ^2}{Y_0} + \rho {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}} \right)}_{{Y_2}} + {\varepsilon _3}$

$\displaystyle {Y_3} = \beta + \rho \beta + {\rho ^2}\beta + {\rho ^3}{Y_0} + {\rho ^2}{\varepsilon _1} + \rho {\varepsilon _2} + {\varepsilon _3}$

Bir önceki bölümde belirtildiği gibi $\displaystyle \rho$ katsayısı $\displaystyle {Y_t}$ ’nin gecikmeli değerleri ile olan ilişkisini, $\displaystyle {Y_0}$ ise $\displaystyle {Y_t}$ ’nin sabit kabul edilen başlangıç değerini temsil etmektedir.

Eğer $\displaystyle \rho = 1$ ise serinin birim kökü olduğu anlamına gelir. Böyle bir durumda da $\displaystyle {Y_t}$ aşağıdaki gibi tahmin edilemez yapıya sahip stokastik (olasılıksal) geçmiş dönem hata terimlerinin birikimli bir fonksiyonu olacaktır.

$\displaystyle {Y_1} = \beta + \underbrace \rho _1{Y_0} + {\varepsilon _1}$

$\displaystyle {Y_1} = \beta + {Y_0} + {\varepsilon _1}$

$\displaystyle {Y_2} = \beta + \underbrace \rho _1\beta + \underbrace {{\rho ^2}}_1{Y_0} + \underbrace \rho _1{\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}$

$\displaystyle {Y_2} = 2\beta + {Y_0} + {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}$

$\displaystyle {Y_3} = \beta + \underbrace \rho _1\beta + \underbrace {{\rho ^2}}_1\beta + \underbrace {{\rho ^3}}_1{Y_0} + \underbrace {{\rho ^2}}_1{\varepsilon _1} + \underbrace \rho _1{\varepsilon _2} + {\varepsilon _3}$

$\displaystyle {Y_3} = 3\beta + {Y_0} + {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2} + {\varepsilon _3}$

$\displaystyle {Y_t}$ ’nin $\displaystyle \beta$ gibi bir sabit ve $\displaystyle {Y_0}$ başlangıç değeri ile birlikte geçmiş dönem hata terimlerinin birikimli fonksiyonu olduğu yukarıdaki durum “sabit içeren rassal yürüyüş modeli” (random walk with drift model) olarak adlandırılır.

3.1. Ortalama için Durağanlık Analizi

Sabit içeren rassal yürüyüş modeli çerçevesinde $\displaystyle {Y_t}$ ’nin beklenen değeri (ortalaması) için durağanlık analizi aşağıdaki model yardımıyla yapılabilir.

$\displaystyle {Y_t} = \beta + \rho {Y_{t - 1}} + {\varepsilon _t}$

Yukarıdaki ifadeye beklenen değer operatörü ilave edilir.

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = E\left[ \beta \right] + E\left[ {\rho {Y_{t - 1}}} \right] + \underbrace {E\left[ {{\varepsilon _t}} \right]}_0$

Bilindiği gibi hata terimlerinin beklenen değeri 0’dır.

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = E\left[ \beta \right] + E\left[ {\rho {Y_{t - 1}}} \right]$

$\displaystyle \beta$ ve $\displaystyle \rho$ birer sabit ve sabitlerin beklenen değeri kendilerine eşit olduğundan beklenen değer operatöründen çıkartılabilir.

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = \beta + \rho E\left[ {{Y_{t - 1}}} \right]$

Yukarıdaki sonuçtan yola çıkılarak gözlem sayısı n=3 basitleştirici varsayımı altında her alternatif t gözlemi için $\displaystyle {Y_t}$ ’nin beklenen değeri aşağıda analiz edilmektedir.

t=1:

$\displaystyle E\left[ {{Y_1}} \right] = \beta + \rho E\left[ {{Y_0}} \right]$

$\displaystyle {Y_0}$ bir sabit olduğundan beklenen değer operatöründen çıkartılabilir.

$\displaystyle E\left[ {{Y_1}} \right] = \beta + \rho {Y_0}$

t=2:

$\displaystyle E\left[ {{Y_2}} \right] = \beta + \rho E\left[ {{Y_1}} \right]$

$\displaystyle E\left[ {{Y_1}} \right] = \beta + \rho {Y_0}$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle E\left[ {{Y_2}} \right] = \beta + \rho \left( {\beta + \rho {Y_0}} \right)$

$\displaystyle E\left[ {{Y_2}} \right] = \beta + \rho \beta + {\rho ^2}{Y_0}$

t=3:

$\displaystyle E\left[ {{Y_3}} \right] = \beta + \rho E\left[ {{Y_2}} \right]$

$\displaystyle E\left[ {{Y_2}} \right] = \beta + \rho \beta + {\rho ^2}{Y_0}$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle E\left[ {{Y_3}} \right] = \beta + \rho \left( {\beta + \rho \beta + {\rho ^2}{Y_0}} \right)$

$\displaystyle E\left[ {{Y_3}} \right] = \beta + \rho \beta + {\rho ^2}\beta + {\rho ^3}{Y_0}$

Yukarıdaki sonuçlar her alternatif t gözlemi için aşağıda özetlenmiştir.

$\displaystyle t = 1 \to E\left[ {{Y_1}} \right] = \beta + \rho {Y_0}$

$\displaystyle t = 2 \to E\left[ {{Y_2}} \right] = \beta + \rho \beta + {\rho ^2}{Y_0}$

$\displaystyle t = 3 \to E\left[ {{Y_3}} \right] = \beta + \rho \beta + {\rho ^2}\beta + {\rho ^3}{Y_0}$

Yukarıda $\displaystyle {Y_t}$ ’nin beklenen değerleri için gösterilen süreç matematiksel olarak aşağıdaki gibi daha sade ifade edilebilir.

$\displaystyle E\left[ {\sum\limits_{t = 1}^{n = 3} {{Y_t}} } \right] = {\rho ^t}{Y_0} + \sum\limits_{t = 1}^{n = 3} {{\rho ^{t - 1}}} \beta$

Gözlem sayısı n iken yukarıdaki ifade aşağıdaki gibi genel bir forma dönüştürülebilir.

$\displaystyle E\left[ {\sum\limits_{t = 1}^n {{Y_t}} } \right] = {\rho ^t}{Y_0} + \sum\limits_{t = 1}^n {{\rho ^{t - 1}}} \beta$

$\displaystyle E\left[ {\sum\limits_{t = 1}^n {{Y_t}} } \right]$ ile $\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right]$ ifadelerinin her ikisi de $\displaystyle {Y_t}$ ’nin ortalamasını temsil ettiğinden birbirlerinin yerine kullanılabilir.

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = {\rho ^t}{Y_0} + \sum\limits_{t = 1}^n {{\rho ^{t - 1}}} \beta$

Gözlem sayısı n sonsuza giderken ( $\displaystyle n \to \infty$ ) yukarıdaki denklemin sağındaki ifade geometrik bir seri oluşturur.

$\displaystyle \sum\limits_{t = 1}^{n = \infty } {{\rho ^{t - 1}}\beta } = {\rho ^0}\beta + {\rho ^1}\beta + {\rho ^2}\beta + {\rho ^3}\beta + \ldots + {\rho ^{t - 1}}\beta$

$\displaystyle \sum\limits_{t = 1}^{n = \infty } {{\rho ^{t - 1}}\beta } = \left( {1 + \rho + {\rho ^2} + {\rho ^3} + \ldots + {\rho ^{t - 1}}} \right)\beta$

Yukarıdaki ifadenin A gibi bir sabite eşit olduğu kabul edilerek aşağıdaki gibi sadeleştirilmesi mümkündür.

$\displaystyle \sum\limits_{t = 1}^{n = \infty } {{\rho ^{t - 1}}\beta } = \left( {1 + \rho + {\rho ^2} + {\rho ^3} + \ldots + {\rho ^{t - 1}}} \right)\beta = A$

$\displaystyle = \left( {1 + \rho + {\rho ^2} + {\rho ^3} + \ldots + {\rho ^{t - 1}}} \right) = \frac{A}{\beta }$

$\displaystyle = 1 + \rho \underbrace {\left( {1 + \rho + {\rho ^2} + {\rho ^3} + \ldots + {\rho ^{t - 1}}} \right)}_{{A \mathord{\left/ {\vphantom {A \beta }} \right. \kern-\nulldelimiterspace} \beta }} = \frac{A}{\beta }$

$\displaystyle = 1 + \rho \frac{A}{\beta } = \frac{A}{\beta }$

$\displaystyle = 1 = \frac{A}{\beta } - \rho \frac{A}{\beta } =$

$\displaystyle = 1 = \frac{A}{\beta }\left( {1 - \rho } \right)$

$\displaystyle = \frac{1}{{1 - \rho }} = \frac{A}{\beta }$

$\displaystyle = \frac{\beta }{{1 - \rho }} = A$

$\displaystyle \sum\limits_{t = 1}^{n = \infty } {{\rho ^{t - 1}}\beta } = \frac{\beta }{{1 - \rho }}$

Yukarıdaki sonuç denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = {\rho ^t}{Y_0} + \sum\limits_{t = 1}^{n = \infty } {{\rho ^{t - 1}}} \beta$

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = {\rho ^t}{Y_0} + \frac{\beta }{{1 - \rho }}$

$\displaystyle {Y_t}$ ’nin birim kökü varken, diğer bir ifadeyle $\displaystyle \rho = 1$ iken sabit içeren rassal yürüyüş modeli için $\displaystyle {Y_t}$ ’nin beklenen değeri asimptotik açıdan (yani $\displaystyle n \to \infty$ ) tanımsız olmaktadır.

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = {\rho ^t}{Y_0} + \frac{\beta }{{1 - \rho }}$

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = \frac{{{\rho ^t}{Y_0}\left( {1 - \rho } \right) + \beta }}{{1 - \rho }}$

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = \frac{{{1^t}{Y_0}\left( {1 - 1} \right) + \beta }}{{1 - 1}}$

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = \frac{\beta }{0} =$ Tanımsız

Diğer taraftan n sonlu ve $\displaystyle {Y_t}$ ’nin birim kökü var iken sabit içeren rassal yürüyüş modeli için $\displaystyle {Y_t}$ ’nin beklenen değeri, gözlem sırasını temsil eden t ve sabiti temsil eden $\displaystyle \beta$ ’nın çarpımı ile başlangıç değerini temsil eden $\displaystyle {Y_0}$ ’ın toplamına eşit olacaktır. Diğer bir ifadeyle $\displaystyle \rho = 1$ iken $\displaystyle {Y_t}$ ’nin beklenen değeri zamana bağımlı bir şekilde artış göstermektedir.

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = {\rho ^t}{Y_0} + \sum\limits_{t = 1}^n {{\rho ^{t - 1}}} \beta$

Denklemin sağındaki ifade açılır.

$\displaystyle \sum\limits_{t = 1}^n {{\rho ^{t - 1}}\beta } = {\rho ^0}\beta + {\rho ^1}\beta + {\rho ^2}\beta + {\rho ^3}\beta + \ldots + {\rho ^{t - 1}}\beta$

$\displaystyle \sum\limits_{t = 1}^n {{\rho ^{t - 1}}\beta } = {1^0}\beta + {1^1}\beta + {1^2}\beta + {1^3}\beta + \ldots + {1^{t - 1}}\beta$

$\displaystyle \sum\limits_{t = 1}^n {{\rho ^{t - 1}}\beta } = \underbrace {\beta + \beta + \beta + \beta + \ldots + \beta }_t$

$\displaystyle \sum\limits_{t = 1}^n {{\rho ^{t - 1}}\beta } = t \cdot \beta$

Yukarıdaki sonuç denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = {1^t}{Y_0} + t \cdot \beta$

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = {Y_0} + t \cdot \beta$

$\displaystyle {Y_t}$ ’nin birim kökü yok ( $\displaystyle \rho \ne 1$ ) ve $\displaystyle \rho = 0$ iken sabit içeren rassal yürüyüş modeli için $\displaystyle {Y_t}$ ’nin beklenen değeri zamandan bağımsız şekilde $\displaystyle \beta$ sabitine eşit olur.

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = {\rho ^t}{Y_0} + \frac{\beta }{{1 - \rho }}$

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = {0^t}{Y_0} + \frac{\beta }{{1 - 0}}$

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = \frac{\beta }{1}$

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = \beta$

$\displaystyle {Y_t}$ ’nin birim kökü yok ( $\displaystyle \rho \ne 1$ ) ve $\displaystyle \rho \ne 0$ , yani $\displaystyle \rho$ 0 ile 1 arasında bir değere sahip iken, sabit içeren rassal yürüyüş modeli için $\displaystyle {Y_t}$ ’nin beklenen değeri zamandan bağımsız şekilde $\displaystyle \beta$ sabitinin $\displaystyle 1 - \rho$ ’ya bölümüne eşit olacaktır.

$\displaystyle 0 < \rho < 1$

$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\rho ^t} = 0$

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = {\rho ^t}{Y_0} + \frac{\beta }{{1 - \rho }}$

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = \underbrace {{\rho ^t}}_0{Y_0} + \frac{\beta }{{1 - \rho }}$

$\displaystyle E\left[ {{Y_t}} \right] = \frac{\beta }{{1 - \rho }}$

3.2. Varyans için Durağanlık Analizi

Varyans için durağanlık analizine geçmeden önce varyansın durağanlık analizinde yararlanılacak olan $\displaystyle {Y_t}$ ’nin $\displaystyle {Y_1}$ , $\displaystyle {Y_2}$ ve $\displaystyle {Y_3}$ ’ün beklenen değerleri, beklenen değerlerinin kareleri ve karelerinin beklenen değerleri aşağıda sunulmuştur.

$\displaystyle E\left[ {{Y_1}} \right] = {A_1} = \beta + \rho {Y_0}$

$\displaystyle {\left( {E\left[ {{Y_1}} \right]} \right)^2} = A_1^2 = {\left( {\beta + \rho {Y_0}} \right)^2}$

$\displaystyle E\left[ {Y_1^2} \right] = E\left[ {{{\left( {{A_1} + {\varepsilon _1}} \right)}^2}} \right]$

$\displaystyle E\left[ {Y_1^2} \right] = E\left[ {A_1^2 + 2{A_1}{\varepsilon _1} + \varepsilon _1^2} \right]$

$\displaystyle E\left[ {Y_1^2} \right] = A_1^2 + 2{A_1}\underbrace {E\left[ {{\varepsilon _1}} \right]}_0 + E\left[ {\varepsilon _1^2} \right]$

$\displaystyle E\left[ {Y_1^2} \right] = A_1^2 + E\left[ {\varepsilon _1^2} \right]$

Yukarıda $\displaystyle {Y_1}$ ’in beklenen değerinin tüm elemanları sabit olup $\displaystyle {A_1}$ ’e eşit olduğu kabul edilmiştir.

Hata terimlerinin beklenen değeri 0 olduğu için diğer elemanlar ile çapraz çarpımlarının beklenen değerleri de yukarıda gösterildiği gibi 0’a eşit olacaktır.

Benzer yaklaşımlar diğer $\displaystyle {Y_t}$ ’ler için de aynı gerekçelerle kabul edilmiş olup aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle E\left[ {{Y_2}} \right] = {A_2} = \beta + \rho \beta + {\rho ^2}{Y_0}$

$\displaystyle {\left( {E\left[ {{Y_2}} \right]} \right)^2} = A_2^2 = {\left( {\beta + \rho \beta + {\rho ^2}{Y_0}} \right)^2}$

$\displaystyle E\left[ {Y_2^2} \right] = E\left[ {{{\left( {{A_2} + \rho {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}} \right)}^2}} \right]$

$\displaystyle E\left[ {Y_2^2} \right] = A_2^2 + {\rho ^2}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + E\left[ {\varepsilon _2^2} \right]$

$\displaystyle E\left[ {{Y_3}} \right] = {A_3} = \beta + \rho \beta + {\rho ^2}\beta + {\rho ^3}{Y_0}$

$\displaystyle {\left( {E\left[ {{Y_3}} \right]} \right)^2} = A_3^2 = {\left( {\beta + \rho \beta + {\rho ^2}\beta + {\rho ^3}{Y_0}} \right)^2}$

$\displaystyle E\left[ {Y_3^2} \right] = E\left[ {{{\left( {{A_3} + {\rho ^2}{\varepsilon _1} + \rho {\varepsilon _2} + {\varepsilon _3}} \right)}^2}} \right]$

$\displaystyle E\left[ {Y_3^2} \right] = A_3^2 + {\rho ^4}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + {\rho ^2}E\left[ {\varepsilon _2^2} \right] + E\left[ {\varepsilon _3^2} \right]$

t dönemi temsil etmek üzere $\displaystyle {Y_t}$ ’nin varyansı aşağıdaki gibi hesaplanmaktaydı.

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = E\left[ {{{\left( {{Y_t} - E\left( {{Y_t}} \right)} \right)}^2}} \right]$

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = E\left[ {Y_t^2 - 2{Y_t}E\left( {{Y_t}} \right) + {{\left( {E\left( {{Y_t}} \right)} \right)}^2}} \right]$

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = E\left[ {Y_t^2} \right] - 2E\left[ {{Y_t}} \right]\underbrace {E\left[ {E\left( {{Y_t}} \right)} \right]}_{E\left( {{Y_t}} \right)} + \underbrace {E\left[ {{{\left( {E\left( {{Y_t}} \right)} \right)}^2}} \right]}_{{{\left( {E\left( {{Y_t}} \right)} \right)}^2}}$

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = E\left[ {Y_t^2} \right] - 2\underbrace {E\left[ {{Y_t}} \right]E\left( {{Y_t}} \right)}_{{{\left( {E\left( {{Y_t}} \right)} \right)}^2}} + {\left( {E\left( {{Y_t}} \right)} \right)^2}$

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = E\left[ {Y_t^2} \right]\underbrace { - 2{{\left( {E\left( {{Y_t}} \right)} \right)}^2} + {{\left( {E\left( {{Y_t}} \right)} \right)}^2}}_{ - {{\left( {E\left( {{Y_t}} \right)} \right)}^2}}$

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = E\left[ {Y_t^2} \right] - {\left( {E\left( {{Y_t}} \right)} \right)^2}$

Yukarıdaki sonuçtan yola çıkılarak gözlem sayısı n=3 basitleştirici varsayımı altında her alternatif t gözlemi için $\displaystyle {Y_t}$ ’nin varyansı aşağıda analiz edilmektedir.

t=1:

$\displaystyle Var\left( {{Y_1}} \right) = E\left[ {Y_1^2} \right] - {\left( {E\left( {{Y_1}} \right)} \right)^2}$

$\displaystyle E\left[ {Y_1^2} \right] = A_1^2 + E\left[ {\varepsilon _1^2} \right]$ ve $\displaystyle {\left( {E\left[ {{Y_1}} \right]} \right)^2} = A_1^2$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle Var\left( {{Y_1}} \right) = \cancel{{A_1^2}} + E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] - \cancel{{A_1^2}}$

$\displaystyle Var\left( {{Y_1}} \right) = E\left[ {\varepsilon _1^2} \right]$

$\displaystyle Var\left( {{Y_1}} \right) = \delta _\varepsilon ^2$

t=2:

$\displaystyle Var\left( {{Y_2}} \right) = E\left[ {Y_2^2} \right] - {\left( {E\left( {{Y_2}} \right)} \right)^2}$

$\displaystyle E\left[ {Y_2^2} \right] = A_2^2 + {\rho ^2}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + E\left[ {\varepsilon _2^2} \right]$ ve $\displaystyle {\left( {E\left[ {{Y_2}} \right]} \right)^2} = A_2^2$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle Var\left( {{Y_2}} \right) = \cancel{{A_2^2}} + {\rho ^2}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + E\left[ {\varepsilon _2^2} \right] - \cancel{{A_2^2}}$

$\displaystyle Var\left( {{Y_2}} \right) = {\rho ^2}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + E\left[ {\varepsilon _2^2} \right]$

$\displaystyle Var\left( {{Y_2}} \right) = {\rho ^2}\delta _\varepsilon ^2 + \delta _\varepsilon ^2$

t=3:

$\displaystyle Var\left( {{Y_3}} \right) = E\left[ {Y_3^2} \right] - {\left( {E\left( {{Y_3}} \right)} \right)^2}$

$\displaystyle E\left[ {Y_3^2} \right] = A_3^2 + {\rho ^4}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + {\rho ^2}E\left[ {\varepsilon _2^2} \right] + E\left[ {\varepsilon _3^2} \right]$ ve $\displaystyle {\left( {E\left[ {{Y_3}} \right]} \right)^2} = A_3^2$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle Var\left( {{Y_3}} \right) = \cancel{{A_3^2}} + {\rho ^4}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + {\rho ^2}E\left[ {\varepsilon _2^2} \right] + E\left[ {\varepsilon _3^2} \right] - \cancel{{A_3^2}}$

$\displaystyle Var\left( {{Y_3}} \right) = {\rho ^4}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + {\rho ^2}E\left[ {\varepsilon _2^2} \right] + E\left[ {\varepsilon _3^2} \right]$

$\displaystyle Var\left( {{Y_3}} \right) = {\rho ^4}\delta _\varepsilon ^2 + {\rho ^2}\delta _\varepsilon ^2 + \delta _\varepsilon ^2$

Yukarıdaki sonuçlar her alternatif t gözlemi için aşağıda özetlenmiştir.

$\displaystyle t = 1 \to Var\left( {{Y_1}} \right) = \delta _\varepsilon ^2$

$\displaystyle t = 2 \to Var\left( {{Y_2}} \right) = {\rho ^2}\delta _\varepsilon ^2 + \delta _\varepsilon ^2$

$\displaystyle t = 3 \to Var\left( {{Y_3}} \right) = {\rho ^4}\delta _\varepsilon ^2 + {\rho ^2}\delta _\varepsilon ^2 + \delta _\varepsilon ^2$

Yukarıda $\displaystyle {Y_t}$ ’nin varyansları için gösterilen süreç matematiksel olarak aşağıdaki gibi daha sade ifade edilebilir.

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = \sum\limits_{t = 1}^{n = 3} {{\rho ^{2t - 2}}\delta _\varepsilon ^2}$

Gözlem sayısı n iken yukarıdaki ifade aşağıdaki gibi genel bir forma dönüştürülebilir.

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = \sum\limits_{t = 1}^n {{\rho ^{2t - 2}}\delta _\varepsilon ^2}$

Yukarıda $\displaystyle {Y_t}$ ’nin varyansı için gösterilen süreç sabit içermeyen rassal yürüyüş modelinde elde edilen $\displaystyle {Y_t}$ ’nin varyansı ile aynıdır. Dolayısıyla sabit içeren rassal yürüyüş modeli için $\displaystyle {Y_t}$ ’nin varyansı da sabit içermeyen rassal yürüyüş modeli için $\displaystyle {Y_t}$ ’nin varyansı ile aynı değerlendirmelere tabi olacaktır.

$\displaystyle {Y_t}$ ’nin varyansı birim kök yokken aşağıdaki gibi olacaktır.

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = \sum\limits_{t = 1}^{n = \infty } {{\rho ^{2t - 2}}\delta _\varepsilon ^2}$

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = \frac{{\delta _\varepsilon ^2}}{{1 - {\rho ^2}}}$

$\displaystyle {Y_t}$ ’nin varyansı birim kök varken aşağıdaki gibi olacaktır.

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = \sum\limits_{t = 1}^n {{\rho ^{2t - 2}}\delta _\varepsilon ^2} = \sum\limits_{t = 1}^n {{1^{2t - 2}}\delta _\varepsilon ^2}$

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = \sum\limits_{t = 1}^n {\delta _\varepsilon ^2}$

$\displaystyle Var\left( {{Y_t}} \right) = t \cdot \delta _\varepsilon ^2$

3.3. Kovaryans için Durağanlık Analizi

Kovaryans için durağanlık analizine geçmeden önce kovaryansın durağanlık analizinde yararlanılacak olan $\displaystyle {Y_t}$ ’nin $\displaystyle {Y_1}$ , $\displaystyle {Y_2}$ , $\displaystyle {Y_3}$ , ve $\displaystyle {Y_4}$ için beklenen değerleri, beklenen değerlerinin çapraz çarpımları ve çapraz çarpımlarının beklenen değerleri aşağıda sunulmuştur.

$\displaystyle E\left[ {{Y_1}} \right] = {A_1} = \rho {Y_0} + \beta$

$\displaystyle E\left[ {{Y_2}} \right] = {A_2} = {\rho ^2}{Y_0} + \rho \beta + \beta$

$\displaystyle E\left[ {{Y_1}} \right]E\left[ {{Y_2}} \right] = {A_1}{A_2}$

$\displaystyle E\left[ {{Y_1}{Y_2}} \right] = E\left[ {\left( {{A_1} + {\varepsilon _1}} \right)\left( {{A_2} + \rho {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}} \right)} \right]$

$\displaystyle E\left[ {{Y_1}{Y_2}} \right] = E\left[ {{A_1}{A_2} + {A_1}\rho {\varepsilon _1} + {A_1}{\varepsilon _2} + {A_2}{\varepsilon _1} + \rho \varepsilon _1^2} \right]$

$\displaystyle E\left[ {{Y_1}{Y_2}} \right] = {A_1}{A_2} + {A_1}\rho \overbrace {E\left[ {{\varepsilon _1}} \right]}^0 + {A_1}\overbrace {E\left[ {{\varepsilon _2}} \right]}^0 + {A_2}\underbrace {E\left[ {{\varepsilon _1}} \right]}_0 + \rho E\left[ {\varepsilon _1^2} \right]$

$\displaystyle E\left[ {{Y_1}{Y_2}} \right] = {A_1}{A_2} + \rho E\left[ {\varepsilon _1^2} \right]$

Yukarıda $\displaystyle {Y_1}$ ve $\displaystyle {Y_2}$ ’nin beklenen değerlerinin tüm elemanları sabit olup $\displaystyle {A_1}$ ve $\displaystyle {A_2}$ ’ye eşit olduğu kabul edilmiştir.

Hata terimlerinin beklenen değeri 0 olduğu için diğer elemanlar ile çapraz çarpımlarının beklenen değerleri de yukarıda gösterildiği gibi 0’a eşit olacaktır.

Benzer yaklaşımlar diğer $\displaystyle {Y_t}$ ’ler için de aynı gerekçelerle kabul edilmiş olup aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle E\left[ {{Y_2}} \right] = {A_2} = {\rho ^2}{Y_0} + \rho \beta + \beta$

$\displaystyle E\left[ {{Y_3}} \right] = {A_3} = {\rho ^3}{Y_0} + \beta + \rho \beta + {\rho ^2}\beta$

$\displaystyle E\left[ {{Y_2}} \right]E\left[ {{Y_3}} \right] = {A_2}{A_3}$

$\displaystyle E\left[ {{Y_2}{Y_3}} \right] = E\left[ {\left( {{A_2} + \rho {\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}} \right)\left( {{A_3} + {\rho ^2}{\varepsilon _1} + \rho {\varepsilon _2} + {\varepsilon _3}} \right)} \right]$

$\displaystyle E\left[ {{Y_2}{Y_3}} \right] = {A_2}{A_3} + {\rho ^3}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + \rho E\left[ {\varepsilon _2^2} \right]$

$\displaystyle E\left[ {{Y_3}} \right] = {A_3} = {\rho ^3}{Y_0} + \beta + \rho \beta + {\rho ^2}\beta$

$\displaystyle E\left[ {{Y_4}} \right] = {A_4} = {\rho ^4}{Y_0} + \beta + \rho \beta + {\rho ^2}\beta + {\rho ^3}\beta$

$\displaystyle E\left[ {{Y_3}} \right]E\left[ {{Y_4}} \right] = {A_3}{A_4}$

$\displaystyle E\left[ {{Y_3}{Y_4}} \right] = E\left[ {\left( {{A_3} + {\rho ^2}{\varepsilon _1} + \rho {\varepsilon _2} + {\varepsilon _3}} \right)\left( {{A_4} + {\rho ^3}{\varepsilon _1} + {\rho ^2}{\varepsilon _2} + \rho {\varepsilon _3} + {\varepsilon _4}} \right)} \right]$

$\displaystyle E\left[ {{Y_3}{Y_4}} \right] = {A_3}{A_4} + {\rho ^5}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + {\rho ^3}E\left[ {\varepsilon _2^2} \right] + \rho E\left[ {\varepsilon _3^2} \right]$

k iki dönem arasındaki gecikme uzunluğunu, t dönemi temsil etmek üzere $\displaystyle {Y_t}$ ’nin kovaryansı aşağıda gösterildiği gibi hesaplanmaktaydı.

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + k}}} \right) = E\left[ {\left( {{Y_t} - E\left( {{Y_t}} \right)} \right)\left( {{Y_{t + k}} - E\left( {{Y_{t + k}}} \right)} \right)} \right]$

$\displaystyle = E\left[ {{Y_t}{Y_{t + k}} - {Y_t}E\left( {{Y_{t + k}}} \right) - E\left( {{Y_t}} \right){Y_{t + k}} + E\left( {{Y_t}} \right)E\left( {{Y_{t + k}}} \right)} \right]$

$\displaystyle = E\left[ {{Y_t}{Y_{t + k}}} \right] - E\left[ {{Y_t}} \right]E\left( {{Y_{t + k}}} \right) - \cancel{{E\left( {{Y_t}} \right)E\left[ {{Y_{t + k}}} \right]}} + \cancel{{E\left( {{Y_t}} \right)E\left( {{Y_{t + k}}} \right)}}$

$\displaystyle = E\left[ {{Y_t}{Y_{t + k}}} \right] - E\left[ {{Y_t}} \right]E\left( {{Y_{t + k}}} \right)$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + k}}} \right) = E\left[ {{Y_t}{Y_{t + k}}} \right] - E\left[ {{Y_t}} \right]E\left( {{Y_{t + k}}} \right)$

Yukarıdaki sonuçtan yola çıkılarak gecikme uzunluğu k=1 ve gözlem sayısı n=4 basitleştirici varsayımı altında her alternatif t gözlemi için $\displaystyle {Y_t}$ ’nin kovaryansı aşağıda analiz edilmektedir.

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + 1}}} \right) = E\left[ {{Y_t}{Y_{t + 1}}} \right] - E\left[ {{Y_t}} \right]E\left( {{Y_{t + 1}}} \right)$

k=1 ve t=1:

$\displaystyle Cov\left( {{Y_1},{Y_2}} \right) = E\left[ {{Y_1}{Y_2}} \right] - E\left[ {{Y_1}} \right]E\left( {{Y_2}} \right)$

$\displaystyle E\left[ {{Y_1}{Y_2}} \right] = {A_1}{A_2} + \rho E\left[ {\varepsilon _1^2} \right]$ ve $\displaystyle E\left[ {{Y_1}} \right]E\left[ {{Y_2}} \right] = {A_1}{A_2}$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle Cov\left( {{Y_1},{Y_2}} \right) = \cancel{{{A_1}{A_2}}} + \rho E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] - \cancel{{{A_1}{A_2}}}$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_1},{Y_2}} \right) = \rho E\left[ {\varepsilon _1^2} \right]$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_1},{Y_2}} \right) = \rho \delta _\varepsilon ^2$

k=1 ve t=2:

$\displaystyle Cov\left( {{Y_2},{Y_3}} \right) = E\left[ {{Y_2}{Y_3}} \right] - E\left[ {{Y_2}} \right]E\left( {{Y_3}} \right)$

$\displaystyle E\left[ {{Y_2}{Y_3}} \right] = {A_2}{A_3} + {\rho ^3}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + \rho E\left[ {\varepsilon _2^2} \right]$ ve $\displaystyle E\left[ {{Y_2}} \right]E\left[ {{Y_3}} \right] = {A_2}{A_3}$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle Cov\left( {{Y_2},{Y_3}} \right) = \cancel{{{A_2}{A_3}}} + {\rho ^3}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + \rho E\left[ {\varepsilon _2^2} \right] - \cancel{{{A_2}{A_3}}}$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_2},{Y_3}} \right) = {\rho ^3}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + \rho E\left[ {\varepsilon _2^2} \right]$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_2},{Y_3}} \right) = {\rho ^3}\delta _\varepsilon ^2 + \rho \delta _\varepsilon ^2$

k=1 ve t=3:

$\displaystyle Cov\left( {{Y_3},{Y_4}} \right) = E\left[ {{Y_3}{Y_4}} \right] - E\left[ {{Y_3}} \right]E\left( {{Y_4}} \right)$

$\displaystyle E\left[ {{Y_3}{Y_4}} \right] = {A_3}{A_4} + {\rho ^5}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + {\rho ^3}E\left[ {\varepsilon _2^2} \right] + \rho E\left[ {\varepsilon _3^2} \right]$ ve $\displaystyle E\left[ {{Y_3}} \right]E\left[ {{Y_4}} \right] = {A_3}{A_4}$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle Cov\left( {{Y_3},{Y_4}} \right) = \cancel{{{A_3}{A_4}}} + {\rho ^5}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + {\rho ^3}E\left[ {\varepsilon _2^2} \right] + \rho E\left[ {\varepsilon _3^2} \right] - \cancel{{{A_3}{A_4}}}$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_3},{Y_4}} \right) = {\rho ^5}E\left[ {\varepsilon _1^2} \right] + {\rho ^3}E\left[ {\varepsilon _2^2} \right] + \rho E\left[ {\varepsilon _3^2} \right]$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_3},{Y_4}} \right) = {\rho ^5}\delta _\varepsilon ^2 + {\rho ^3}\delta _\varepsilon ^2 + \rho \delta _\varepsilon ^2$

Yukarıdaki sonuçlar k=1 iken her alternatif t gözlemi için aşağıda özetlenmiştir.

$\displaystyle k = 1{\text{ ve }}t = 1 \to Cov\left( {{Y_1},{Y_2}} \right) = \rho \delta _\varepsilon ^2$

$\displaystyle k = 1{\text{ ve }}t = 2 \to Cov\left( {{Y_2},{Y_3}} \right) = {\rho ^3}\delta _\varepsilon ^2 + \rho \delta _\varepsilon ^2$

$\displaystyle k = 1{\text{ ve }}t = 3 \to Cov\left( {{Y_3},{Y_4}} \right) = {\rho ^5}\delta _\varepsilon ^2 + {\rho ^3}\delta _\varepsilon ^2 + \rho \delta _\varepsilon ^2$

Yukarıda gecikme uzunluğu k=1 n=4 iken $\displaystyle {Y_t}$ ’nin kovaryansları için gösterilen süreç matematiksel olarak aşağıdaki gibi daha sade ifade edilebilir.

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + k}}} \right) = \sum\limits_{t = 1}^{n - k} {{\rho ^{2t + k - 2}}\delta _\varepsilon ^2}$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + 1}}} \right) = \sum\limits_{t = 1}^3 {{\rho ^{2t - 1}}\delta _\varepsilon ^2}$

Gecikme uzunluğu k=1 ve gözlem sayısı n iken yukarıdaki ifade aşağıdaki gibi genel bir forma dönüştürülebilir.

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + k}}} \right) = \sum\limits_{t = 1}^{n - k} {{\rho ^{2t + k - 2}}\delta _\varepsilon ^2}$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + 1}}} \right) = \sum\limits_{t = 1}^{n - 1} {{\rho ^{2t - 1}}\delta _\varepsilon ^2}$

Yukarıda $\displaystyle {Y_t}$ ’nin kovaryansı için gösterilen süreç sabit içermeyen rassal yürüyüş modelinde elde edilen $\displaystyle {Y_t}$ ’nin kovaryansı ile aynıdır. Dolayısıyla sabit içeren rassal yürüyüş modeli için $\displaystyle {Y_t}$ ’nin kovaryansı da sabit içermeyen rassal yürüyüş modeli için $\displaystyle {Y_t}$ ’nin kovaryansı ile aynı değerlendirmelere tabi olacaktır.

$\displaystyle {Y_t}$ ’nin kovaryansı birim kök yokken aşağıdaki gibi olacaktır.

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + k}}} \right) = \sum\limits_{t = 1}^{n - k} {{\rho ^{2t + k - 2}}\delta _\varepsilon ^2}$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + k}}} \right) = {\rho ^k}\frac{{\delta _\varepsilon ^2}}{{1 - {\rho ^2}}}$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + k}}} \right) = {\rho ^k} \cdot Var\left( {{Y_t}} \right)$

$\displaystyle {Y_t}$ ’nin kovaryansı birim kök varken aşağıdaki gibi olacaktır.

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + k}}} \right) = \sum\limits_{t = 1}^{n - k} {{\rho ^{2t + k - 2}}\delta _\varepsilon ^2} = \sum\limits_{t = 1}^{n - k} {{1^{2t + k - 2}}\delta _\varepsilon ^2}$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + k}}} \right) = \sum\limits_{t = 1}^{n - k} {\delta _\varepsilon ^2}$

$\displaystyle Cov\left( {{Y_t},{Y_{t + k}}} \right) = \left( {t - k} \right) \cdot \delta _\varepsilon ^2$

İshak Kutlu, Ekonometri Notları

Zaman Serileri İçin Durağanlık Analizi – 2

3. Sabit İçeren Rassal Yürüyüş Modeli Çerçevesinde Durağanlık Analizi

3.1. Ortalama için Durağanlık Analizi

3.2. Varyans için Durağanlık Analizi

3.3. Kovaryans için Durağanlık Analizi

Yorum Yap

Yanıtı İptal Et

İshak Kutlu