Otokorelasyon, Ardışık Bağımlılık veya İçsel Bağıntı Sorunu – 3

İçindekiler

5.6. AR(p) Sürecinin Kısmi Otokorelasyon Katsayıları (PACF)

“OTOKORELASYON, ARDIŞIK BAĞIMLILIK veya İÇSEL BAĞINTI SORUNU – 2” isimli makalede AR(p) sürecinin basit otokorelasyon katsayıları (ACF) için durağan olmadığı gösterilmiştir. Aşağıda ise AR(p) sürecinin kısmi otokorelasyon katsayılarının (PACF, Partial Autocorrelation Function) p. gecikmeden sonra durağan olduğu gösterilecektir.

Kısmi otokorelasyon (PACF), diğer tüm açıklayıcı değişkenler sabit iken açıklayıcı değişkenlerden birinin açıklanan değişken üzerindeki tekil etkisi olarak tanımlanabilir. AR(p) süreci üzerinden kısmi otokorelasyon aşağıda gösterildiği gibi ifade edilebilir.

$\displaystyle E\left[ {{\varepsilon _t}|{\varepsilon _{t - 1}},{\varepsilon _{t - 2}}, \ldots ,{\varepsilon _{t - p}}} \right] = {\phi _1}{\varepsilon _{t - 1}} + {\phi _2}{\varepsilon _{t - 2}} + \ldots + {\phi _p}{\varepsilon _{t - p}} + {\omega _t}$

Spesifik olarak AR(p) süreci için $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’nin koşullu beklenen değerleri (conditional expected values), $\displaystyle \phi$ katsayıları ile katsayıların ait olduğu $\displaystyle \varepsilon$ ’lar ile çarpımına eşittir. Söz gelimi $\displaystyle {\phi _2}$ katsayısı diğer açıklayıcı değişkenler sabit iken $\displaystyle {\varepsilon _{t - 2}}$ ’ nin $\displaystyle {\varepsilon _t}$ üzerindeki etkisini ifade eder. Dolayısıyla $\displaystyle {\phi _2}$ , $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ile $\displaystyle {\varepsilon _{t - 2}}$ arasındaki kısmi otokorelasyon katsayısını temsil eder. AR(p) süreci için kısmi otokorelasyon katsayıları AR(p) sürecinin EKK ile tahmin edilmesi ile kolaylıkla hesaplanabilir.

$\displaystyle {\varepsilon _t} = {\phi _1}{\varepsilon _{t - 1}} + {\phi _2}{\varepsilon _{t - 2}} + \ldots + {\phi _p}{\varepsilon _{t - p}} + {\omega _t}$

$\displaystyle {\varepsilon _t} = {\hat \phi _1}{\varepsilon _{t - 1}} + {\hat \phi _2}{\varepsilon _{t - 2}} + \ldots + {\hat \phi _p}{\varepsilon _{t - p}} + {\hat \omega _t}$

AR(p) sürecinin kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) açısından durağanlık analizi ACF’de olduğu gibi yine Yule-Walker eşitliklerinden yola çıkılarak yapılabilir.

$\displaystyle {\varepsilon _t} = {\phi _1}{\varepsilon _{t - 1}} + {\phi _2}{\varepsilon _{t - 2}} + \ldots + {\phi _p}{\varepsilon _{t - p}} + {\omega _t}$

Yukarıdaki ifade AR(p) süreci ve k gecikme uzunluğu olmak üzere eşitliğin her iki tarafı da $\displaystyle {\varepsilon _{t - k}}$ ile çarpılır.

$\displaystyle {\varepsilon _t}{\varepsilon _{t - k}} = {\phi _1}{\varepsilon _{t - 1}}{\varepsilon _{t - k}} + {\phi _2}{\varepsilon _{t - 2}}{\varepsilon _{t - k}} + \ldots + {\phi _p}{\varepsilon _{t - p}}{\varepsilon _{t - k}} + {\omega _t}{\varepsilon _{t - k}}$

Denkleme beklenen değer operatörü ilave edilir.

$\displaystyle \underbrace {E\left[ {{\varepsilon _t}{\varepsilon _{t - k}}} \right]}_{{\gamma _k}} = {\phi _1}\underbrace {E\left[ {{\varepsilon _{t - 1}}{\varepsilon _{t - k}}} \right]}_{{\gamma _{k - 1}}} + {\phi _2}\underbrace {E\left[ {{\varepsilon _{t - 2}}{\varepsilon _{t - k}}} \right]}_{{\gamma _{k - 2}}} + \ldots + {\phi _p}\underbrace {E\left[ {{\varepsilon _{t - p}}{\varepsilon _{t - k}}} \right]}_{{\gamma _{k - p}}} + E\left[ {{\omega _t}{\varepsilon _{t - k}}} \right]$

$\displaystyle {\gamma _k} = {\phi _1}{\gamma _{k - 1}} + {\phi _2}{\gamma _{k - 2}} + \ldots + {\phi _p}{\gamma _{k - p}} + \underbrace {E\left[ {{\omega _t}} \right]}_0E\left[ {{\varepsilon _{t - k}}} \right]$

Gecikme uzunluğu $\displaystyle k > 0$ olmak koşuluyla problemsiz hata terimi $\displaystyle {\omega _t}$ ’nin beklenen değeri 0 olduğu için eşitliğin en sağından bulunan ifade 0’a eşittir.

$\displaystyle {\gamma _k} = {\phi _1}{\gamma _{k - 1}} + {\phi _2}{\gamma _{k - 2}} + \ldots + {\phi _p}{\gamma _{k - p}}$

Eşitliğin tüm elemanları hata terimi $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’nin varyansını temsil eden $\displaystyle {\gamma _0}$ ’a bölünür.

$\displaystyle \underbrace {\frac{{{\gamma _k}}}{{{\gamma _0}}}}_{{\rho _k}} = {\phi _1}\underbrace {\frac{{{\gamma _{k - 1}}}}{{{\gamma _0}}}}_{{\rho _{k - 1}}} + {\phi _2}\underbrace {\frac{{{\gamma _{k - 2}}}}{{{\gamma _0}}}}_{{\rho _{k - 2}}} + \ldots + {\phi _p}\underbrace {\frac{{{\gamma _{k - p}}}}{{{\gamma _0}}}}_{{\rho _{k - p}}}$

Her alternatif gecikme uzunluğunda kovaryansların varyansa bölümü basit otokorelasyon katsayılarına (ACF, Autocorrelation Function) eşittir.

$\displaystyle {\rho _k} = {\phi _1}{\rho _{k - 1}} + {\phi _2}{\rho _{k - 2}} + {\phi _3}{\rho _{k - 3}} + \ldots + {\phi _{p - 1}}{\rho _{k - \left( {p - 1} \right)}} + {\phi _p}{\rho _{k - p}}$

$\displaystyle \rho$ basit otokorelasyon katsayıları (ACF), $\displaystyle \phi$ ’ler kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) ve m maksimum gecikme uzunluğu, k gecikme sırasını ve $\displaystyle m > p > 0$ olmak üzere, maksimum gecikme uzunluğu m kadar basit otokorelasyon katsayısı $\displaystyle \rho$ olduğu gibi maksimum gecikme uzunluğu m kadar kısmi otokorelasyon katsayısı $\displaystyle \phi$ olduğu varsayılmıştır. Notasyon karışıklığını engellemek amacıyla kısmi otokorelasyon katsayıları $\displaystyle \phi$ yerine $\displaystyle \varphi$ ile temsil edilmiştir. Açıklamalar çerçevesinde yukarıdaki denklem aşağıdaki gibi değiştirilebilir.

$\displaystyle {\rho _k} = {\varphi _1}{\rho _{k - 1}} + {\varphi _2}{\rho _{k - 2}} + \ldots + \underbrace {{\varphi _p}{\rho _{k - p}}}_{{\varphi _p}{\rho _0}} + {\varphi _{p + 1}}{\rho _1} + \ldots + {\varphi _{m - 1}}{\rho _{k - \left( {m - 1} \right)}} + {\varphi _m}{\rho _{k - m}}$

$\displaystyle k = p$ iken denklemin $\displaystyle {\varphi _p}{\rho _{k - p}}$ kısmı $\displaystyle {\varphi _p}{\rho _0}$ ifadesine eşit olacaktır.

$\displaystyle {\rho _k} = {\varphi _1}{\rho _{k - 1}} + {\varphi _2}{\rho _{k - 2}} + {\varphi _3}{\rho _{k - 3}} + \ldots + {\varphi _p}{\rho _0} + {\varphi _{p + 1}}{\rho _1} + \ldots + {\varphi _m}{\rho _{k - m}}$

$\displaystyle {\rho _k}$ ve $\displaystyle {\rho _{ - k}}$ birbirine göre simetrik olduğundan $\displaystyle {\rho _k} = {\rho _{ - k}}$ , $\displaystyle {\rho _{k - p}} = {\rho _{p - k}}$ , $\displaystyle {\rho _{k - m}} = {\rho _{m - k}}$ , $\displaystyle {\rho _2} = {\rho _{ - 2}}$ vb. olur. Yukarıdaki denklemin her alternatif k gecikmesi için açılımı aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle k = 1 \to {\rho _1} = {\varphi _1}{\rho _0} + {\varphi _2}{\rho _1} + {\varphi _3}{\rho _2} + \ldots + {\varphi _{m - 1}}{\rho _{1 - \left( {m - 1} \right)}} + {\varphi _m}{\rho _{1 - m}}$

$\displaystyle k = 2 \to {\rho _2} = {\varphi _1}{\rho _1} + {\varphi _2}{\rho _0} + {\varphi _3}{\rho _1} + \ldots + {\varphi _{m - 1}}{\rho _{2 - \left( {m - 1} \right)}} + {\varphi _m}{\rho _{2 - m}}$

$\displaystyle k = 3 \to {\rho _3} = {\varphi _1}{\rho _2} + {\varphi _2}{\rho _1} + {\varphi _3}{\rho _0} + \ldots + {\varphi _{m - 1}}{\rho _{3 - \left( {m - 1} \right)}} + {\varphi _m}{\rho _{3 - m}}$

$\displaystyle \vdots$ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle \vdots$

$\displaystyle k = m - 1 \to {\rho _{m - 1}} = {\varphi _1}{\rho _{m - 2}} + {\varphi _2}{\rho _{m - 3}} + {\varphi _3}{\rho _{m - 4}} + \ldots + {\varphi _{m - 1}}{\rho _0} + {\varphi _m}{\rho _1}$

$\displaystyle k = m \to {\rho _m} = {\varphi _1}{\rho _{m - 1}} + {\varphi _2}{\rho _{m - 2}} + {\varphi _3}{\rho _{m - 3}} + \ldots + {\varphi _{m - 1}}{\rho _1} + {\varphi _m}{\rho _0}$

$\displaystyle {\rho _0} = 1$ olduğundan yukarıdaki denklem sisteminde yerine yazılır.

$\displaystyle {\rho _1} = {\varphi _1} + {\varphi _2}{\rho _1} + {\varphi _3}{\rho _2} + \ldots + {\varphi _{m - 1}}{\rho _{1 - \left( {m - 1} \right)}} + {\varphi _m}{\rho _{1 - m}}$

$\displaystyle {\rho _2} = {\varphi _1}{\rho _1} + {\varphi _2} + {\varphi _3}{\rho _1} + \ldots + {\varphi _{m - 1}}{\rho _{2 - \left( {m - 1} \right)}} + {\varphi _m}{\rho _{2 - m}}$

$\displaystyle {\rho _3} = {\varphi _1}{\rho _2} + {\varphi _2}{\rho _1} + {\varphi _3} + \ldots + {\varphi _{m - 1}}{\rho _{3 - \left( {m - 1} \right)}} + {\varphi _m}{\rho _{3 - m}}$

$\displaystyle \vdots$ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle \vdots$

$\displaystyle {\rho _{m - 1}} = {\varphi _1}{\rho _{m - 2}} + {\varphi _2}{\rho _{m - 3}} + {\varphi _3}{\rho _{m - 4}} + \ldots + {\varphi _{m - 1}} + {\varphi _m}{\rho _1}$

$\displaystyle {\rho _m} = {\varphi _1}{\rho _{m - 1}} + {\varphi _2}{\rho _{m - 2}} + {\varphi _3}{\rho _{m - 3}} + \ldots + {\varphi _{m - 1}}{\rho _1} + {\varphi _m}$

Yukarıdaki denklem sistemi matris formunda aşağıda gösterildiği gibi ifade edilebilir.

$\displaystyle \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _1}} \\ {{\rho _2}} \\ {{\rho _3}} \\ \vdots \\ {{\rho _{m - 1}}} \\ {{\rho _m}} \end{array}} \right]}_\Gamma = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{\rho _1}}&{{\rho _2}}& \ldots &{{\rho _{1 - \left( {m - 1} \right)}}}&{{\rho _{1 - m}}} \\ {{\rho _1}}&1&{{\rho _1}}& \ldots &{{\rho _{2 - \left( {m - 1} \right)}}}&{{\rho _{2 - m}}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _1}}&1& \ldots &{{\rho _{3 - \left( {m - 1} \right)}}}&{{\rho _{3 - m}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{\rho _{m - 2}}}&{{\rho _{m - 3}}}&{{\rho _{m - 4}}}& \ldots &1&{{\rho _1}} \\ {{\rho _{m - 1}}}&{{\rho _{m - 2}}}&{{\rho _{m - 3}}}& \ldots &{{\rho _1}}&1 \end{array}} \right]}_{\rm P}\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi _1}} \\ {{\varphi _2}} \\ {{\varphi _3}} \\ \vdots \\ {{\varphi _{m - 1}}} \\ {{\varphi _m}} \end{array}} \right]}_\Phi$

$\displaystyle {\rm P}$ ifadesi $\displaystyle m \times m$ boyutlarında, $\displaystyle \Gamma$ ve $\displaystyle \Phi$ ifadeleri ise $\displaystyle m \times 1$ boyutlarında yukarıda gösterilen matrisleri temsil etmektedir.

$\displaystyle \Gamma = {\rm P}\Phi$

Yukarıdaki denklem sisteminde $\displaystyle \Gamma$ sütun vektörü ve $\displaystyle {\rm P}$ matrisi basit otokorelasyon katsayılarını ifade etmekte olup ACF konusunda hesaplandığından değerleri bilinmektedir. $\displaystyle \Phi$ sütun vektörü ise $\displaystyle {\varphi _1}$ , $\displaystyle {\varphi _2}$ , $\displaystyle {\varphi _3}$ , … , $\displaystyle {\varphi _m}$ gibi kısmi otokorelasyon katsayılarını (PACF) temsil etmektedir. Dolayısıyla bilinmeyenler $\displaystyle \Phi$ sütun vektörü elemanları olup sistemi $\displaystyle \Phi$ sütun vektörü için çözmek amacıyla denklemin her iki tarafı da soldan P matrisinin tersi ile çarpılır.

$\displaystyle {{\rm P}^{ - 1}}\Gamma = \underbrace {{{\rm P}^{ - 1}}{\rm P}}_I\Phi$

Bir matrisin soldan tersi ile çarpımı I birim matrise eşittir.

$\displaystyle {{\rm P}^{ - 1}}\Gamma = \underbrace I_1\Phi$

I birim matrisin determinantı da daima 1’e eşittir.

$\displaystyle {{\rm P}^{ - 1}}\Gamma = \Phi$

$\displaystyle m \times m$ boyutlu P matrisinin tersi ile $\displaystyle m \times 1$ boyutlu $\displaystyle \Gamma$ matrisinin çarpımı, $\displaystyle m \times 1$ boyutlu bir sütun vektörüne eşit olacaktır. $\displaystyle m \times 1$ boyutlu bir matrisin determinantı (skaler bir değeri) olmayıp m tane elemanı vardır ve aşağıda gösterildiği gibi her bir eleman ait olduğu sıradaki kısmi otokorelasyon katsayısını (PACF) verir.

$\displaystyle \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}} \\ {{a_2}} \\ {{a_3}} \\ \vdots \\ {{a_{m - 1}}} \\ {{a_m}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi _1}} \\ {{\varphi _2}} \\ {{\varphi _3}} \\ \vdots \\ {{\varphi _{m - 1}}} \\ {{\varphi _m}} \end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}} \to \\ \to \\ \to \\ \to \\ \to \\ \to \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} = {\varphi _1}} \\ {{a_2} = {\varphi _2}} \\ {{a_3} = {\varphi _3}} \\ \vdots \\ {{a_{m - 1}} = {\varphi _{m - 1}}} \\ {{a_m} = {\varphi _m}} \end{array}$

$\displaystyle m \times m$ boyutlu $\displaystyle {\rm P}$ matrisinin determinantı olduğundan yukarıdaki denklem sistemi kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) için Cramer kuralı yardımıyla da çözülebilir. Soldan sağa doğru $\displaystyle {\rm P}$ matrisinin sütun sırası takip edilerek $\displaystyle \Phi$ sütun vektörü ile değiştirilmiş yardımcı matrisler oluşturulur. $\displaystyle {\rm P}$ matrisinin ilk sütunun $\displaystyle \Phi$ sütun vektörü ile değiştirilmesiyle elde edilen yardımcı matris $\displaystyle {{\rm P}_1}$ , ikinci sütunun $\displaystyle \Phi$ sütun vektörü ile değiştirilmesiyle elde edilen yardımcı matris $\displaystyle {{\rm P}_2}$ , m’inci sütunun $\displaystyle \Phi$ sütun vektörü ile değiştirilmesiyle elde edilen yardımcı matris ise $\displaystyle {{\rm P}_m}$ ile temsil edilmiştir. Daha sonra ise yardımcı matrisin determinantı P matrisin determinantına bölünerek her alternatif $\displaystyle \varphi$ için tek tek otokorelasyon katsayıları hesaplanır.

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{\left| {{{\rm P}_1}} \right|}}{{\left| {\rm P} \right|}}$

$\displaystyle {P_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\boxed{{\rho _1}}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}}& \ldots &{{\rho _{1 - \left( {m - 1} \right)}}}&{{\rho _{1 - m}}} \\ {\boxed{{\rho _2}}}&1&{{\rho _1}}& \ldots &{{\rho _{2 - \left( {m - 1} \right)}}}&{{\rho _{2 - m}}} \\ {\boxed{{\rho _3}}}&{{\rho _1}}&1& \ldots &{{\rho _{3 - \left( {m - 1} \right)}}}&{{\rho _{3 - m}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {\boxed{{\rho _{m - 1}}}}&{{\rho _{m - 3}}}&{{\rho _{m - 4}}}& \ldots &1&{{\rho _1}} \\ {\boxed{{\rho _m}}}&{{\rho _{m - 2}}}&{{\rho _{m - 3}}}& \ldots &{{\rho _1}}&1 \end{array}} \right|$

$\displaystyle {\varphi _2} = \frac{{\left| {{{\rm P}_2}} \right|}}{{\left| {\rm P} \right|}}$

$\displaystyle {P_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\boxed{{\rho _1}}}&{{\rho _2}}& \ldots &{{\rho _{1 - \left( {m - 1} \right)}}}&{{\rho _{1 - m}}} \\ {{\rho _1}}&{\boxed{{\rho _2}}}&{{\rho _1}}& \ldots &{{\rho _{2 - \left( {m - 1} \right)}}}&{{\rho _{2 - m}}} \\ {{\rho _2}}&{\boxed{{\rho _3}}}&1& \ldots &{{\rho _{3 - \left( {m - 1} \right)}}}&{{\rho _{3 - m}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{\rho _{m - 2}}}&{\boxed{{\rho _{m - 1}}}}&{{\rho _{m - 4}}}& \ldots &1&{{\rho _1}} \\ {{\rho _{m - 1}}}&{\boxed{{\rho _m}}}&{{\rho _{m - 3}}}& \ldots &{{\rho _1}}&1 \end{array}} \right|$

$\displaystyle \vdots$

$\displaystyle {\varphi _m} = \frac{{\left| {{P_m}} \right|}}{{\left| P \right|}}$

$\displaystyle {P_m} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{\rho _1}}&{{\rho _2}}& \ldots &{{\rho _{1 - \left( {m - 1} \right)}}}&{\boxed{{\rho _1}}} \\ {{\rho _1}}&1&{{\rho _1}}& \ldots &{{\rho _{2 - \left( {m - 1} \right)}}}&{\boxed{{\rho _2}}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _1}}&1& \ldots &{{\rho _{3 - \left( {m - 1} \right)}}}&{\boxed{{\rho _3}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{\rho _{m - 2}}}&{{\rho _{m - 3}}}&{{\rho _{m - 4}}}& \ldots &1&{\boxed{{\rho _{m - 1}}}} \\ {{\rho _{m - 1}}}&{{\rho _{m - 2}}}&{{\rho _{m - 3}}}& \ldots &{{\rho _1}}&{\boxed{{\rho _m}}} \end{array}} \right|$

Yukarıdaki açıklamalar çerçevesinde, $\displaystyle p = 1$ ve $\displaystyle m = 2$ basitleştirici varsayımı altında AR(1) sürecinin 2 dönem gecikmeye kadar kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\rho _k} = {\varphi _1}{\rho _{k - 1}} + {\varphi _2}{\rho _{k - 2}} + \ldots + {\varphi _p}{\rho _0} + {\varphi _{p + 1}}{\rho _1} + \ldots + {\varphi _m}{\rho _{k - m}}$

$\displaystyle p = 1$ ve $\displaystyle m = 2$ için denklem sistemi açılır.

$\displaystyle k = 1 \to {\rho _1} = {\varphi _1}{\rho _0} + {\varphi _2}{\rho _1}$

$\displaystyle k = 2 \to {\rho _2} = {\varphi _1}{\rho _1} + {\varphi _2}{\rho _0}$

Yukarıdaki denklem sistemi matris formunda ifade edilir.

$\displaystyle \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _1}} \\ {{\rho _2}} \end{array}} \right]}_\Gamma = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _0}} \end{array}} \right]}_P\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi _1}} \\ {{\varphi _2}} \end{array}} \right]}_\Phi$

$\displaystyle \Gamma = P\Phi$

Cramer kuralı yardımıyla kısmi otokorelasyon katsayıları $\displaystyle {\varphi _1}$ ve $\displaystyle {\varphi _2}$ hesaplanır.

$\displaystyle P = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _0}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle 2 \times 2$ boyutlarında matrislerin determinantı soldan başlanmak koşuluyla çapraz çarpımların farkına eşitti.

$\displaystyle P = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _0}} \end{array}} \right| = \rho _0^2 - \rho _1^2 = 1 - \rho _1^2$

Sistemin $\displaystyle {\varphi _1}$ için çözümü aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{\left| {{P_1}} \right|}}{{\left| P \right|}}$

$\displaystyle {P_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _1}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _0}} \end{array}} \right| = {\rho _1} \cdot {\rho _0} - {\rho _1} \cdot {\rho _2} = {\rho _1} - {\rho _1} \cdot {\rho _2}$

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{{\rho _1} - {\rho _1} \cdot {\rho _2}}}{{1 - \rho _1^2}}$

AR(1) süreci için 2 dönem gecikmeye kadar basit otokorelasyon katsayıları ACF bölümünde hesaplanmıştı.

$\displaystyle {\rho _1} = {\phi _1}$

$\displaystyle {\rho _2} = \phi _1^2$

$\displaystyle {\rho _1}$ ve $\displaystyle {\rho _2}$ değerleri denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{{\rho _1} - {\rho _1} \cdot {\rho _2}}}{{1 - \rho _1^2}} = \frac{{{\phi _1} - {\phi _1} \cdot \phi _1^2}}{{1 - \phi _1^2}}$

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{{\phi _1}\left( {\cancel{{1 - \phi _1^2}}} \right)}}{{\left( {\cancel{{1 - \phi _1^2}}} \right)}}$

$\displaystyle {\varphi _1} = {\phi _1}$

Sistemin $\displaystyle {\varphi _2}$ için çözümü aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\varphi _2} = \frac{{\left| {{P_2}} \right|}}{{\left| P \right|}}$

$\displaystyle {P_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _2}} \end{array}} \right| = {\rho _0} \cdot {\rho _2} - \rho _1^2 = {\rho _2} - \rho _1^2$

$\displaystyle {\varphi _2} = \frac{{{\rho _2} - \rho _1^2}}{{1 - \rho _1^2}} = \frac{{\phi _1^2 - \phi _1^2}}{{1 - \phi _1^2}} = \frac{0}{{1 - \phi _1^2}}$

$\displaystyle {\varphi _2} = 0$

Yukarıda görüldüğü gibi AR(1) sürecinin 2 dönem gecikmeye kadar kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) $\displaystyle {\varphi _1} = {\phi _1}$ ve $\displaystyle {\varphi _2} = 0$ olmaktadır.

$\displaystyle p = 1$ ve $\displaystyle m = 3$ basitleştirici varsayımı altında AR(1) sürecinin 3 dönem gecikmeye kadar kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle p = 1$ ve $\displaystyle m = 3$ için denklem sistemi açılır.

$\displaystyle k = 1 \to {\rho _1} = {\varphi _1}{\rho _0} + {\varphi _2}{\rho _1} + {\varphi _3}{\rho _2}$

$\displaystyle k = 2 \to {\rho _2} = {\varphi _1}{\rho _1} + {\varphi _2}{\rho _0} + {\varphi _3}{\rho _1}$

$\displaystyle k = 3 \to {\rho _3} = {\varphi _1}{\rho _2} + {\varphi _2}{\rho _1} + {\varphi _3}{\rho _0}$

Yukarıdaki denklem sistemi matris formunda ifade edilir.

$\displaystyle \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _1}} \\ {{\rho _2}} \\ {{\rho _3}} \end{array}} \right]}_\Gamma = \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _0}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _1}}&{{\rho _0}} \end{array}} \right]}_P\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varphi _1}} \\ {{\varphi _2}} \\ {{\varphi _3}} \end{array}} \right]}_\Phi$

$\displaystyle \Gamma = P\Phi$

Cramer kuralı yardımıyla kısmi otokorelasyon katsayıları $\displaystyle {\varphi _1}$ , $\displaystyle {\varphi _2}$ ve $\displaystyle {\varphi _3}$ hesaplanır.

$\displaystyle P = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _0}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _1}}&{{\rho _0}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle 3 \times 3$ boyutlarında matrislerin determinantı Sarrus yöntemi ile hesaplanabilir.

$\displaystyle P = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _0}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _1}}&{{\rho _0}} \\ {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _0}}&{{\rho _1}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle P = \left( {\rho _0^3 + \rho _1^2 \cdot {\rho _2} + \rho _1^2 \cdot {\rho _2}} \right) - \left( {{\rho _0} \cdot \rho _2^2 + {\rho _0} \cdot \rho _1^2 + {\rho _0} \cdot \rho _1^2} \right)$

$\displaystyle P = \left( {1 + 2\rho _1^2 \cdot {\rho _2}} \right) - \left( {\rho _2^2 + 2\rho _1^2} \right)$

Sistemin $\displaystyle {\varphi _1}$ için çözümü aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{\left| {{P_1}} \right|}}{{\left| P \right|}}$

$\displaystyle {P_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _1}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _0}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _3}}&{{\rho _1}}&{{\rho _0}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle {P_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _1}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _0}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _3}}&{{\rho _1}}&{{\rho _0}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _0}}&{{\rho _1}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle {P_1} = \left( {\rho _0^2 \cdot {\rho _1} + {\rho _1} \cdot \rho _2^2 + \rho _1^2 \cdot {\rho _3}} \right) - \left( {{\rho _0} \cdot {\rho _2} \cdot {\rho _3} + \rho _1^3 + {\rho _0} \cdot {\rho _1} \cdot {\rho _2}} \right)$

$\displaystyle {P_1} = \left( {{\rho _1} + {\rho _1} \cdot \rho _2^2 + \rho _1^2 \cdot {\rho _3}} \right) - \left( {{\rho _2} \cdot {\rho _3} + \rho _1^3 + {\rho _1} \cdot {\rho _2}} \right)$

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{\left( {{\rho _1} + {\rho _1} \cdot \rho _2^2 + \rho _1^2 \cdot {\rho _3}} \right) - \left( {{\rho _2} \cdot {\rho _3} + \rho _1^3 + {\rho _1} \cdot {\rho _2}} \right)}}{{\left( {1 + 2\rho _1^2 \cdot {\rho _2}} \right) - \left( {\rho _2^2 + 2\rho _1^2} \right)}}$

$\displaystyle {\rho _1} = {\phi _1}$ , $\displaystyle {\rho _2} = \phi _1^2$ ve $\displaystyle {\rho _3} = \phi _1^3$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{\left( {{\phi _1} + {\phi _1} \cdot {{\left( {\phi _1^2} \right)}^2} + \phi _1^2 \cdot \phi _1^3} \right) - \left( {\phi _1^2 \cdot \phi _1^3 + \phi _1^3 + {\phi _1} \cdot \phi _1^2} \right)}}{{\left( {1 + 2\phi _1^2 \cdot \phi _1^2} \right) - \left( {{{\left( {\phi _1^2} \right)}^2} + 2\phi _1^2} \right)}}$

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{\left( {{\phi _1} + \phi _1^5 + \phi _1^5} \right) - \left( { + \phi _1^5 + \phi _1^3 + \phi _1^3} \right)}}{{\left( {1 + 2\phi _1^4} \right) - \left( {\phi _1^4 + 2\phi _1^2} \right)}}$

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{{\phi _1} + \phi _1^5\cancel{{ + \phi _1^5}}\cancel{{ - \phi _1^5}} - 2\phi _1^3}}{{1 + \cancel{2}\phi _1^4\cancel{{ - \phi _1^4}} - 2\phi _1^2}}$

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{{\phi _1} + \phi _1^5 - 2\phi _1^3}}{{1 + \phi _1^4 - 2\phi _1^2}}$

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{{\phi _1}\left( {\cancel{{1 + \phi _1^4 - 2\phi _1^2}}} \right)}}{{\cancel{{1 + \phi _1^4 - 2\phi _1^2}}}}$

$\displaystyle {\varphi _1} = {\phi _1}$

Sistemin $\displaystyle {\varphi _2}$ için çözümü aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\varphi _2} = \frac{{\left| {{P_2}} \right|}}{{\left| P \right|}}$

$\displaystyle {P_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _2}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _3}}&{{\rho _0}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle {P_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _2}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _3}}&{{\rho _0}} \\ {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _2}}&{{\rho _1}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle {P_2} = \left( {\rho _0^2 \cdot {\rho _2} + {\rho _1} \cdot {\rho _2} \cdot {\rho _3} + \rho _1^2 \cdot {\rho _2}} \right) - \left( {\rho _2^3 + {\rho _0} \cdot {\rho _1} \cdot {\rho _3} + {\rho _0} \cdot \rho _1^2} \right)$

$\displaystyle {P_2} = \left( {{\rho _2} + {\rho _1} \cdot {\rho _2} \cdot {\rho _3} + \rho _1^2 \cdot {\rho _2}} \right) - \left( {\rho _2^3 + {\rho _1} \cdot {\rho _3} + \rho _1^2} \right)$

$\displaystyle {\varphi _2} = \frac{{\left( {{\rho _2} + {\rho _1} \cdot {\rho _2} \cdot {\rho _3} + \rho _1^2 \cdot {\rho _2}} \right) - \left( {\rho _2^3 + {\rho _1} \cdot {\rho _3} + \rho _1^2} \right)}}{{1 + \phi _1^4 - 2\phi _1^2}}$

AR(1) süreci için $\displaystyle {\rho _1} = {\phi _1}$ , $\displaystyle {\rho _2} = \phi _1^2$ ve $\displaystyle {\rho _3} = \phi _1^3$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {\varphi _2} = \frac{{\left( {\phi _1^2 + {\phi _1} \cdot \phi _1^2 \cdot \phi _1^3 + \phi _1^2 \cdot \phi _1^2} \right) - \left( {{{\left( {\phi _1^2} \right)}^3} + {\phi _1} \cdot \phi _1^3 + \phi _1^2} \right)}}{{1 + \phi _1^4 - 2\phi _1^2}}$

$\displaystyle {\varphi _2} = \frac{{\left( {\phi _1^2 + \phi _1^5 + \phi _1^4} \right) - \left( {\phi _1^5 + \phi _1^4 + \phi _1^2} \right)}}{{1 + \phi _1^4 - 2\phi _1^2}}$

$\displaystyle {\varphi _2} = \frac{{\cancel{{\phi _1^2}}\cancel{{ + \phi _1^5}}\cancel{{ + \phi _1^4}}\cancel{{ - \phi _1^5}}\cancel{{ - \phi _1^4}}\cancel{{ - \phi _1^2}}}}{{1 + \phi _1^4 - 2\phi _1^2}}$

$\displaystyle {\varphi _2} = 0$

Sistemin $\displaystyle {\varphi _3}$ için çözümü aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\varphi _3} = \frac{{\left| {{P_3}} \right|}}{{\left| P \right|}}$

$\displaystyle {P_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _0}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _1}}&{{\rho _3}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle {P_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _0}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _1}}&{{\rho _3}} \\ {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _0}}&{{\rho _2}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle {P_3} = \left( {\rho _0^2 \cdot {\rho _3} + \rho _1^3 + {\rho _1} \cdot \rho _2^2} \right) - \left( {{\rho _0} \cdot {\rho _1} \cdot {\rho _2} + {\rho _0} \cdot {\rho _1} \cdot {\rho _2} + \rho _1^2 \cdot {\rho _3}} \right)$

$\displaystyle {P_3} = \left( {{\rho _3} + \rho _1^3 + {\rho _1} \cdot \rho _2^2} \right) - \left( {2 \cdot {\rho _1} \cdot {\rho _2} + \rho _1^2 \cdot {\rho _3}} \right)$

$\displaystyle {\varphi _3} = \frac{{\left( {{\rho _3} + \rho _1^3 + {\rho _1} \cdot \rho _2^2} \right) - \left( {2 \cdot {\rho _1} \cdot {\rho _2} + \rho _1^2 \cdot {\rho _3}} \right)}}{{1 + \phi _1^4 - 2\phi _1^2}}$

$\displaystyle {\rho _1} = {\phi _1}$ , $\displaystyle {\rho _2} = \phi _1^2$ ve $\displaystyle {\rho _3} = \phi _1^3$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {\varphi _3} = \frac{{\left( {\phi _1^3 + \phi _1^3 + {\phi _1} \cdot {{\left( {\phi _1^2} \right)}^2}} \right) - \left( {2 \cdot {\phi _1} \cdot \phi _1^2 + \phi _1^2 \cdot \phi _1^3} \right)}}{{1 + \phi _1^4 - 2\phi _1^2}}$

$\displaystyle {\varphi _3} = \frac{{\left( {2 \cdot \phi _1^3 + \phi _1^5} \right) - \left( {2 \cdot \phi _1^3 + \phi _1^5} \right)}}{{1 + \phi _1^4 - 2\phi _1^2}}$

$\displaystyle {\varphi _3} = \frac{{\cancel{{2 \cdot \phi _1^3}}\cancel{{ + \phi _1^5}}\cancel{{ - 2 \cdot \phi _1^3}}\cancel{{ - \phi _1^5}}}}{{1 + \phi _1^4 - 2\phi _1^2}}$

$\displaystyle {\varphi _3} = 0$

Yukarıda görüldüğü gibi AR(1) sürecinin 3 dönem gecikmeye kadar kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) $\displaystyle {\varphi _1} = {\phi _1}$ , $\displaystyle {\varphi _2} = 0$ ve $\displaystyle {\varphi _3} = 0$ olmaktadır.

O halde gecikme uzunluğu her ne olursa olsun AR(1) süreci kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) açısından 1. gecikmeden sonra durağandır.

$\displaystyle p = 2$ ve $\displaystyle m = 3$ basitleştirici varsayımı altında AR(2) sürecinin 3 dönem gecikmeye kadar kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\rho _k} = {\varphi _1}{\rho _{k - 1}} + {\varphi _2}{\rho _{k - 2}} + \ldots + {\varphi _p}{\rho _0} + {\varphi _{p + 1}}{\rho _1} + \ldots + {\varphi _m}{\rho _{k - m}}$

$\displaystyle p = 2$ ve $\displaystyle m = 3$ için denklem sistemi açılır.

$\displaystyle k = 1 \to {\rho _1} = {\varphi _1}{\rho _0} + {\varphi _2}{\rho _1} + {\varphi _3}{\rho _2}$

$\displaystyle k = 2 \to {\rho _2} = {\varphi _1}{\rho _1} + {\varphi _2}{\rho _0} + {\varphi _3}{\rho _1}$

$\displaystyle k = 3 \to {\rho _3} = {\varphi _1}{\rho _2} + {\varphi _2}{\rho _1} + {\varphi _3}{\rho _0}$

Yukarıdaki denklem sistemi matris formunda ifade edilir.

$\displaystyle \Gamma = P\Phi$

Cramer kuralı yardımıyla kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) $\displaystyle {\varphi _1}$ , $\displaystyle {\varphi _2}$ ve $\displaystyle {\varphi _3}$ hesaplanır.

$\displaystyle P = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _0}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _1}}&{{\rho _0}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{\left| {{P_1}} \right|}}{{\left| P \right|}}$

$\displaystyle {P_1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _1}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _0}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _3}}&{{\rho _1}}&{{\rho _0}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle {\varphi _2} = \frac{{\left| {{P_2}} \right|}}{{\left| P \right|}}$

$\displaystyle {P_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _2}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _2}}&{{\rho _0}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle {\varphi _3} = \frac{{\left| {{P_3}} \right|}}{{\left| P \right|}}$

$\displaystyle {P_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _0}}&{{\rho _1}}&{{\rho _1}} \\ {{\rho _1}}&{{\rho _0}}&{{\rho _2}} \\ {{\rho _2}}&{{\rho _1}}&{{\rho _3}} \end{array}} \right|$

$\displaystyle 3 \times 3$ boyutundaki $\displaystyle P$ , $\displaystyle {P_1}$ , $\displaystyle {P_2}$ ve $\displaystyle {P_3}$ matrislerinin determinantları Sarrus kuralı ile hesaplanabilir.

$\displaystyle P = \left( {1 + 2\rho _1^2 \cdot {\rho _2}} \right) - \left( {\rho _2^2 + 2\rho _1^2} \right)$

$\displaystyle {P_1} = \left( {{\rho _1} + {\rho _1} \cdot \rho _2^2 + \rho _1^2 \cdot {\rho _3}} \right) - \left( {{\rho _2} \cdot {\rho _3} + \rho _1^3 + {\rho _1} \cdot {\rho _2}} \right)$

$\displaystyle {P_2} = \left( {{\rho _2} + {\rho _1} \cdot {\rho _2} \cdot {\rho _3} + \rho _1^2 \cdot {\rho _2}} \right) - \left( {\rho _2^3 + {\rho _1} \cdot {\rho _3} + \rho _1^2} \right)$

$\displaystyle {P_3} = \left( {{\rho _3} + \rho _1^3 + {\rho _1} \cdot \rho _2^2} \right) - \left( {2 \cdot {\rho _1} \cdot {\rho _2} + \rho _1^2 \cdot {\rho _3}} \right)$

AR(2) süreci için 3 dönem gecikmeye kadar basit otokorelasyon katsayıları ACF bölümünde hesaplanmıştı.

$\displaystyle {\rho _1} = \frac{{{\phi _1}}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}$

$\displaystyle {\rho _2} = \frac{{\left( {1 - {\phi _2}} \right) \cdot {\phi _2} + \phi _1^2}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}$

$\displaystyle {\rho _3} = \frac{{\phi _1^3 + {\phi _1}{\phi _2} + {\phi _1}{\phi _2}\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}$

Matematiksel işlem kolaylığı sağlaması amacıyla $\displaystyle a = {\phi _1}$ , $\displaystyle b = 1 - {\phi _2}$ , $\displaystyle c = {\phi _2}$ ve $\displaystyle c = 1 - b$ olmak üzere $\displaystyle {\rho _1}$ , $\displaystyle {\rho _2}$ ve $\displaystyle {\rho _3}$ a, b ve c türünden aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

$\displaystyle {\rho _1} = \frac{a}{b}$

$\displaystyle {\rho _2} = \frac{{bc + {a^2}}}{b}$

$\displaystyle {\rho _3} = \frac{{{a^3} + ac + abc}}{b}$

P matrisinin determinantını hesaplamak amacıyla $\displaystyle {\rho _1}$ , $\displaystyle {\rho _2}$ ve $\displaystyle {\rho _3}$ ’ün a, b ve c türünden karşılıkları P matrisinin determinantında yerine yazılır.

$\displaystyle P = \left( {1 + 2\rho _1^2 \cdot {\rho _2}} \right) - \left( {\rho _2^2 + 2\rho _1^2} \right)$

$\displaystyle P = \left( {1 + 2{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)} \right) - \left( {{{\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)}^2} + 2{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}} \right)$

$\displaystyle P = \left( {\frac{{{b^3}}}{{{b^3}}} + 2\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)} \right) - \left( {\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right) + 2\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} \right)$

$\displaystyle P = \left( {\frac{{{b^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{2{a^2}bc + 2{a^4}}}{{{b^3}}}} \right) - \left( {\left( {\frac{{{a^4} + 2{a^2}bc + {b^2}{c^2}}}{{{b^2}}}} \right) + 2\frac{{{a^2}b}}{{{b^3}}}} \right)$

$\displaystyle P = \left( {\frac{{{b^3} + 2{a^2}bc + 2{a^4}}}{{{b^3}}}} \right) - \left( {\left( {\frac{{{a^4}b + 2{a^2}{b^2}c + {b^3}{c^2} + 2{a^2}b}}{{{b^3}}}} \right)} \right)$

$\displaystyle P = \frac{{{b^3} + 2{a^2}bc + 2{a^4} - {a^4}b - 2{a^2}{b^2}c - {b^3}{c^2} - 2{a^2}b}}{{{b^3}}}$

$\displaystyle P = \left( {\underbrace {{b^3} + 2{a^2}bc + 2{a^4} - {a^4}b - 2{a^2}{b^2}c - {b^3}{c^2} - 2{a^2}b}_A} \right)\frac{1}{{{b^3}}}$

$\displaystyle P = A\frac{1}{{{b^3}}}$

Matematiksel işlem kolaylığı sağlaması amacıyla parantez içindeki ifadenin A gibi bir sabite eşit olduğu varsayılır.

$\displaystyle A = {b^3} + 2{a^2}bc + 2{a^4} - {a^4}b - 2{a^2}{b^2}c - {b^3}{c^2} - 2{a^2}b$

$\displaystyle c = 1 - b$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle A = {b^3} + 2{a^2}b\left( {1 - b} \right) + 2{a^4} - {a^4}b - 2{a^2}{b^2}\left( {1 - b} \right) - {b^3}{\left( {1 - b} \right)^2} - 2{a^2}b$

$\displaystyle A = {b^3} + 2{a^2}b - 2{a^2}{b^2} + 2{a^4} - {a^4}b - 2{a^2}{b^2} + 2{a^2}{b^3} - {b^3}\left( {1 - 2b + {b^2}} \right) - 2{a^2}b$

$\displaystyle A = \cancel{{{b^3}}} + \cancel{{2{a^2}b}} - 2{a^2}{b^2} + 2{a^4} - {a^4}b - 2{a^2}{b^2} + 2{a^2}{b^3} - \cancel{{{b^3}}} + 2{b^4} - {b^5} - \cancel{{2{a^2}b}}$

$\displaystyle A = - 4{a^2}{b^2} + 2{a^4} - {a^4}b + 2{a^2}{b^3} + 2{b^4} - {b^5}$

$\displaystyle A = 2{a^4} - 4{a^2}{b^2} + 2{b^4} - {a^4}b + 2{a^2}{b^3} - {b^5}$

$\displaystyle A = 2\left( {{a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right) - b\left( {{a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right)$

$\displaystyle A = 2{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} - b{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2}$

$\displaystyle A = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2}\left( {2 - b} \right)$

$\displaystyle P = A\frac{1}{{{b^3}}}$ olduğundan A değerinin yerine yazılması suretiyle P değeri bulunur.

$\displaystyle P = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}\left( {2 - b} \right)}}{{{b^3}}}$

$\displaystyle {P_1}$ matrisinin determinantını hesaplamak amacıyla $\displaystyle {\rho _1}$ , $\displaystyle {\rho _2}$ ve $\displaystyle {\rho _3}$ ’ün a, b ve c türünden karşılıkları $\displaystyle {P_1}$ matrisinin determinantında yerine yazılır.

$\displaystyle {P_1} = \left( {{\rho _1} + {\rho _1} \cdot \rho _2^2 + \rho _1^2 \cdot {\rho _3}} \right) - \left( {{\rho _2} \cdot {\rho _3} + \rho _1^3 + {\rho _1} \cdot {\rho _2}} \right)$

$\displaystyle {\rho _1} = \frac{a}{b}$ , $\displaystyle {\rho _2} = \frac{{bc + {a^2}}}{b}$ , $\displaystyle {\rho _3} = \frac{{{a^3} + ac + abc}}{b}$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {P_1} = \left( {\frac{a}{b} + \left( {\frac{a}{b}} \right){{\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}\left( {\frac{{{a^3} + ac + abc}}{b}} \right)} \right) - \left( {\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)\left( {\frac{{{a^3} + ac + abc}}{b}} \right) + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^3} + \left( {\frac{a}{b}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)} \right)$

$\displaystyle {P_1} = \left( {\frac{a}{b} + \left( {\frac{a}{b}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right) + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\left( {\frac{{{a^3} + ac + abc}}{b}} \right)} \right) - \left( {\left( {\frac{{{a^3}bc + ab{c^2} + a{b^2}{c^2} + {a^5} + {a^3}c + {a^3}bc}}{{{b^2}}}} \right) + \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{abc + {a^3}}}{{{b^2}}}} \right)$

$\displaystyle {P_1} = \left( {\frac{{a{b^2}}}{{{b^3}}} + \left( {\frac{{abc + {a^3}}}{{{b^2}}}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right) + \left( {\frac{{{a^5} + {a^3}c + {a^3}bc}}{{{b^3}}}} \right)} \right) - \left( {\left( {\frac{{{a^3}{b^2}c + a{b^2}{c^2} + a{b^3}{c^2} + {a^5}b + {a^3}bc + {a^3}{b^2}c}}{{{b^3}}}} \right) + \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{a{b^2}c + {a^3}b}}{{{b^3}}}} \right)$

$\displaystyle {P_1} = \left( {\frac{{a{b^2}}}{{{b^3}}} + \left( {\frac{{a{b^2}{c^2} + {a^3}bc + {a^3}bc + {a^5}}}{{{b^3}}}} \right) + \left( {\frac{{{a^5} + {a^3}c + {a^3}bc}}{{{b^3}}}} \right)} \right) - \left( {\frac{{{a^3}{b^2}c + a{b^2}{c^2} + a{b^3}{c^2} + {a^5}b + {a^3}bc + {a^3}{b^2}c + {a^3} + a{b^2}c + {a^3}b}}{{{b^3}}}} \right)$

$\displaystyle {P_1} = \left( {\frac{{a{b^2} + a{b^2}{c^2} + {a^3}bc + {a^3}bc + {a^5} + {a^5} + {a^3}c + {a^3}bc}}{{{b^3}}}} \right) - \left( {\frac{{{a^3}{b^2}c + a{b^2}{c^2} + a{b^3}{c^2} + {a^5}b + {a^3}bc + {a^3}{b^2}c + {a^3} + a{b^2}c + {a^3}b}}{{{b^3}}}} \right)$

$\displaystyle {P_1} = {A_1}\frac{1}{{{b^3}}}$

Matematiksel işlem kolaylığı sağlaması amacıyla parantez içindeki ifadenin $\displaystyle {A_1}$ gibi bir sabite eşit olduğu varsayılır.

$\displaystyle {A_1} = a{b^2} + a{b^2}{c^2} + {a^3}bc + {a^3}bc + {a^5} + {a^5} + {a^3}c + {a^3}bc - \left( {{a^3}{b^2}c + a{b^2}{c^2} + a{b^3}{c^2} + {a^5}b + {a^3}bc + {a^3}{b^2}c + {a^3} + a{b^2}c + {a^3}b} \right)$

$\displaystyle {A_1} = a{b^2} + \cancel{{a{b^2}{c^2}}} + \cancel{{{a^3}bc}} + 2{a^3}bc + 2{a^5} + {a^3}c - {a^3}{b^2}c - \cancel{{a{b^2}{c^2}}} - a{b^3}{c^2} - {a^5}b - \cancel{{{a^3}bc}} - {a^3}{b^2}c - {a^3} - a{b^2}c - {a^3}b$

$\displaystyle {A_1} = a{b^2} + 2{a^3}bc + 2{a^5} + {a^3}c - 2{a^3}{b^2}c - a{b^3}{c^2} - {a^5}b - {a^3} - a{b^2}c - {a^3}b$

$\displaystyle c = 1 - b$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {A_1} = a{b^2} + 2{a^3}b\left( {1 - b} \right) + 2{a^5} + {a^3}\left( {1 - b} \right) - 2{a^3}{b^2}\left( {1 - b} \right) - a{b^3}{\left( {1 - b} \right)^2} - {a^5}b - {a^3} - a{b^2}\left( {1 - b} \right) - {a^3}b$

$\displaystyle {A_1} = a{b^2} + 2{a^3}b - 2{a^3}{b^2} + 2{a^5} + {a^3} - {a^3}b - 2{a^3}{b^2} + 2{a^3}{b^3} - a{b^3}\left( {1 - 2b + {b^2}} \right) - {a^5}b - {a^3} - a{b^2} + a{b^3} - {a^3}b$

$\displaystyle {A_1} = \cancel{{a{b^2}}} + \cancel{{2{a^3}b}} - 2{a^3}{b^2} + 2{a^5} + \cancel{{{a^3}}} - \cancel{{{a^3}b}} - 2{a^3}{b^2} + 2{a^3}{b^3} - \cancel{{a{b^3}}} + 2a{b^4} - a{b^5} - {a^5}b - \cancel{{{a^3}}} - \cancel{{a{b^2}}} + \cancel{{a{b^3}}} - \cancel{{{a^3}b}}$

$\displaystyle {A_1} = - 4{a^3}{b^2} + 2{a^5} + 2{a^3}{b^3} + 2a{b^4} - a{b^5} - {a^5}b$

$\displaystyle {A_1} = - {a^5}b + 2{a^3}{b^3} - a{b^5} + 2{a^5} - 4{a^3}{b^2} + 2a{b^4}$

$\displaystyle {A_1} = - ab\left( {{a^4}b - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right) + 2a\left( {{a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right)$

$\displaystyle {A_1} = - ab{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + 2a{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2}$

$\displaystyle {A_1} = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2}\left( {2a - ab} \right)$

$\displaystyle {A_1} = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2}\left( {2 - b} \right)a$

$\displaystyle {P_1} = {A_1}\frac{1}{{{b^3}}}$ olduğundan $\displaystyle {A_1}$ değerinin yerine yazılması suretiyle $\displaystyle {P_1}$ değeri bulunur.

$\displaystyle {P_1} = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}\left( {2 - b} \right)a}}{{{b^3}}}$

$\displaystyle {P_2}$ matrisinin determinantını hesaplamak amacıyla $\displaystyle {\rho _1}$ , $\displaystyle {\rho _2}$ ve $\displaystyle {\rho _3}$ ’ün a, b ve c türünden karşılıkları $\displaystyle {P_2}$ matrisinin determinantında yerine yazılır.

$\displaystyle {P_2} = \left( {{\rho _2} + {\rho _1} \cdot {\rho _2} \cdot {\rho _3} + \rho _1^2 \cdot {\rho _2}} \right) - \left( {\rho _2^3 + {\rho _1} \cdot {\rho _3} + \rho _1^2} \right)$

$\displaystyle {\rho _1} = \frac{a}{b}$ , $\displaystyle {\rho _2} = \frac{{bc + {a^2}}}{b}$ , $\displaystyle {\rho _3} = \frac{{{a^3} + ac + abc}}{b}$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {P_2} = \left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b} + \left( {\frac{a}{b}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)\left( {\frac{{{a^3} + ac + abc}}{b}} \right) + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)} \right) - \left( {{{\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)}^3} + \left( {\frac{a}{b}} \right)\left( {\frac{{{a^3} + ac + abc}}{b}} \right) + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}} \right)$

$\displaystyle {P_2} = \left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b} + \left( {\frac{{abc + {a^3}}}{{{b^2}}}} \right)\left( {\frac{{{a^3} + ac + abc}}{b}} \right) + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)} \right) - \left( {\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right) + \left( {\frac{{{a^4} + {a^2}c + {a^2}bc}}{{{b^2}}}} \right) + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} \right)$

$\displaystyle {P_2} = \left( {\frac{{{b^3}c + {a^2}{b^2}}}{{{b^3}}} + \left( {\frac{{{a^4}bc + {a^2}b{c^2} + {a^2}{b^2}{c^2} + {a^6} + {a^4}c + {a^4}bc}}{{{b^3}}}} \right) + \left( {\frac{{{a^2}bc + {a^4}}}{{{b^3}}}} \right)} \right) - \left( {\left( {\frac{{{b^2}{c^2} + 2{a^2}bc + {a^4}}}{{{b^2}}}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right) + \left( {\frac{{{a^4}b + {a^2}bc + {a^2}{b^2}c}}{{{b^3}}}} \right) + \frac{{{a^2}b}}{{{b^3}}}} \right)$

$\displaystyle {P_2} = \left( {\frac{{{b^3}c + {a^2}{b^2} + {a^4}bc + {a^2}b{c^2} + {a^2}{b^2}{c^2} + {a^6} + {a^4}c + {a^4}bc + {a^2}bc + {a^4}}}{{{b^3}}}} \right) - \left( {\left( {\frac{{{b^3}{c^3} + {a^2}{b^2}{c^2} + 2{a^2}{b^2}{c^2} + 2{a^4}bc + {a^4}bc + {a^6}}}{{{b^3}}}} \right) + \left( {\frac{{{a^4}b + {a^2}bc + {a^2}{b^2}c + {a^2}b}}{{{b^3}}}} \right)} \right)$

$\displaystyle {P_2} = \left( {\frac{{{b^3}c + {a^2}{b^2} + 2{a^4}bc + {a^2}b{c^2} + {a^2}{b^2}{c^2} + {a^6} + {a^4}c + {a^2}bc + {a^4}}}{{{b^3}}}} \right) - \left( {\frac{{{b^3}{c^3} + 3{a^2}{b^2}{c^2} + 3{a^4}bc + {a^6} + {a^4}b + {a^2}bc + {a^2}{b^2}c + {a^2}b}}{{{b^3}}}} \right)$

$\displaystyle {P_2} = {A_2}\frac{1}{{{b^3}}}$

Matematiksel işlem kolaylığı sağlaması amacıyla parantez içindeki ifadenin $\displaystyle {A_2}$ gibi bir sabite eşit olduğu varsayılır.

$\displaystyle {A_2} = {b^3}c + {a^2}{b^2} + 2{a^4}bc + {a^2}b{c^2} + {a^2}{b^2}{c^2} + {a^6} + {a^4}c + {a^2}bc + {a^4} - \left( {{b^3}{c^3} + 3{a^2}{b^2}{c^2} + 3{a^4}bc + {a^6} + {a^4}b + {a^2}bc + {a^2}{b^2}c + {a^2}b} \right)$

$\displaystyle {A_2} = {b^3}c + {a^2}{b^2} + \cancel{{2{a^4}bc}} + {a^2}b{c^2} + \cancel{{{a^2}{b^2}{c^2}}} + \cancel{{{a^6}}} + {a^4}c + \cancel{{{a^2}bc}} + {a^4} - {b^3}{c^3} - \underbrace {3{a^2}{b^2}{c^2}}_{2{a^2}{b^2}{c^2}} - \underbrace {\cancel{{3{a^4}bc}}}_{{a^4}bc} - \cancel{{{a^6}}} - {a^4}b - \cancel{{{a^2}bc}} - {a^2}{b^2}c - {a^2}b$

$\displaystyle {A_2} = {b^3}c + {a^2}{b^2} + {a^2}b{c^2} + {a^4}c + {a^4} - {b^3}{c^3} - 2{a^2}{b^2}{c^2} - {a^4}bc - {a^4}b - {a^2}{b^2}c - {a^2}b$

$\displaystyle c = 1 - b$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {A_2} = {b^3}\left( {1 - b} \right) + {a^2}{b^2} + {a^2}b{\left( {1 - b} \right)^2} + {a^4}\left( {1 - b} \right) + {a^4} - {b^3}{\left( {1 - b} \right)^3} - 2{a^2}{b^2}{\left( {1 - b} \right)^2} - {a^4}b\left( {1 - b} \right) - {a^4}b - {a^2}{b^2}\left( {1 - b} \right) - {a^2}b$

$\displaystyle {A_2} = {b^3} - {b^4} + {a^2}{b^2} + {a^2}b\left( {1 - 2b + {b^2}} \right) + {a^4} - {a^4}b + {a^4} - {b^3}\left( {1 - b} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - b} \right) - 2{a^2}{b^2}\left( {1 - 2b + {b^2}} \right) - {a^4}b + {a^4}{b^2} - {a^4}b - {a^2}{b^2} + {a^2}{b^3} - {a^2}b$

$\displaystyle {A_2} = {b^3} - {b^4} + {a^2}{b^2} + {a^2}b - 2{a^2}{b^2} + {a^2}{b^3} + {a^4} - {a^4}b + {a^4} - {b^3}\left( {1 - 3b + 3{b^2} - {b^3}} \right) - 2{a^2}{b^2} + 4{a^2}{b^3} - 2{a^2}{b^4} - {a^4}b + {a^4}{b^2} - {a^4}b - {a^2}{b^2} + {a^2}{b^3} - {a^2}b$

$\displaystyle {A_2} = \cancel{{{b^3}}} - \cancel{{{b^4}}} + \cancel{{{a^2}{b^2}}} + \cancel{{{a^2}b}} - \cancel{{2{a^2}{b^2}}} + \cancel{{{a^2}{b^3}}} + \underbrace {\cancel{{{a^4}}}}_{2{a^4}} - \cancel{{{a^4}b}} + \cancel{{{a^4}}} - \cancel{{{b^3}}} + \underbrace {\cancel{{3{b^4}}}}_{2{b^4}} - 3{b^5} + {b^6} - \underbrace {\cancel{{2{a^2}{b^2}}}}_{4{a^2}{b^2}} + \underbrace {\cancel{{4{a^2}{b^3}}}}_{6{a^2}{b^3}} - 2{a^2}{b^4} - \cancel{{{a^4}b}} + {a^4}{b^2} - \underbrace {\cancel{{{a^4}b}}}_{3{a^4}b} - \cancel{{{a^2}{b^2}}} + \cancel{{{a^2}{b^3}}} - \cancel{{{a^2}b}}$

$\displaystyle {A_2} = 2{a^4} + 2{b^4} - 3{b^5} + {b^6} - 4{a^2}{b^2} + 6{a^2}{b^3} - 2{a^2}{b^4} + {a^4}{b^2} - 3{a^4}b$

$\displaystyle {A_2} = 2{a^4} - 4{a^2}{b^2} + 2{b^4} - 3{a^4}b + 6{a^2}{b^3} - 3{b^5} + {a^4}{b^2} - 2{a^2}{b^4} + {b^6}$

$\displaystyle {A_2} = 2\left( {{a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right) - 3b\left( {{a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right) + {b^2}\left( {{a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right)$

$\displaystyle {A_2} = 2{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} - 3b{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {b^2}{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2}$

$\displaystyle {A_2} = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2}\left( {2 - 3b + {b^2}} \right)$

$\displaystyle {A_2} = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2}\left( {2 - b} \right)\left( {1 - b} \right)$

$\displaystyle c = 1 - b$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {A_2} = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2}\left( {2 - b} \right)c$

$\displaystyle {P_2} = {A_2}\frac{1}{{{b^3}}}$ olduğundan $\displaystyle {A_2}$ değerinin yerine yazılması suretiyle $\displaystyle {P_2}$ değeri bulunur.

$\displaystyle {P_2} = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}\left( {2 - b} \right)c}}{{{b^3}}}$

$\displaystyle {P_3}$ matrisinin determinantını hesaplamak amacıyla $\displaystyle {\rho _1}$ , $\displaystyle {\rho _2}$ ve $\displaystyle {\rho _3}$ ’ün a, b ve c türünden karşılıkları $\displaystyle {P_3}$ matrisinin determinantında yerine yazılır.

$\displaystyle {P_3} = \left( {{\rho _3} + \rho _1^3 + {\rho _1} \cdot \rho _2^2} \right) - \left( {2 \cdot {\rho _1} \cdot {\rho _2} + \rho _1^2 \cdot {\rho _3}} \right)$

$\displaystyle {\rho _1} = \frac{a}{b}$ , $\displaystyle {\rho _2} = \frac{{bc + {a^2}}}{b}$ , $\displaystyle {\rho _3} = \frac{{{a^3} + ac + abc}}{b}$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {P_3} = \left( {\frac{{{a^3} + ac + abc}}{b} + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^3} + \left( {\frac{a}{b}} \right){{\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)}^2}} \right) - \left( {2\left( {\frac{a}{b}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right) + {{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}\left( {\frac{{{a^3} + ac + abc}}{b}} \right)} \right)$

$\displaystyle {P_3} = \left( {\frac{{{a^3}{b^2} + a{b^2}c + a{b^3}c}}{{{b^3}}} + \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} + \left( {\frac{a}{b}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)} \right) - \left( {\left( {\frac{{2abc + 2{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\left( {\frac{{{a^3} + ac + abc}}{b}} \right)} \right)$

$\displaystyle {P_3} = \left( {\frac{{{a^3}{b^2} + a{b^2}c + a{b^3}c + {a^3}}}{{{b^3}}} + \left( {\frac{{abc + {a^3}}}{{{b^2}}}} \right)\left( {\frac{{bc + {a^2}}}{b}} \right)} \right) - \left( {\left( {\frac{{2a{b^2}c + 2{a^3}b}}{{{b^3}}}} \right) + \left( {\frac{{{a^5} + {a^3}c + {a^3}bc}}{{{b^3}}}} \right)} \right)$

$\displaystyle {P_3} = \left( {\frac{{{a^3}{b^2} + a{b^2}c + a{b^3}c + {a^3}}}{{{b^3}}} + \frac{{a{b^2}{c^2} + {a^3}bc + {a^3}bc + {a^5}}}{{{b^3}}}} \right) - \left( {\frac{{2a{b^2}c + 2{a^3}b + {a^5} + {a^3}c + {a^3}bc}}{{{b^3}}}} \right)$

$\displaystyle {P_3} = \left( {\frac{{{a^3}{b^2} + a{b^2}c + a{b^3}c + {a^3} + a{b^2}{c^2} + {a^3}bc + {a^3}bc + {a^5}}}{{{b^3}}}} \right) - \left( {\frac{{2a{b^2}c + 2{a^3}b + {a^5} + {a^3}c + {a^3}bc}}{{{b^3}}}} \right)$

$\displaystyle {P_3} = {A_3}\frac{1}{{{b^3}}}$

Matematiksel işlem kolaylığı sağlaması amacıyla parantez içindeki ifadenin $\displaystyle {A_3}$ gibi bir sabite eşit olduğu varsayılır.

$\displaystyle {A_3} = \left( {{a^3}{b^2} + a{b^2}c + a{b^3}c + {a^3} + a{b^2}{c^2} + {a^3}bc + {a^3}bc + {a^5}} \right) - \left( {2a{b^2}c + 2{a^3}b + {a^5} + {a^3}c + {a^3}bc} \right)$

$\displaystyle {A_3} = {a^3}{b^2} + \cancel{{a{b^2}c}} + a{b^3}c + {a^3} + a{b^2}{c^2} + \cancel{{{a^3}bc}} + {a^3}bc + \cancel{{{a^5}}} - \underbrace {\cancel{{2a{b^2}c}}}_{a{b^2}c} - 2{a^3}b - \cancel{{{a^5}}} - {a^3}c - \cancel{{{a^3}bc}}$

$\displaystyle {A_3} = {a^3}{b^2} + a{b^3}c + {a^3} + a{b^2}{c^2} + {a^3}bc - a{b^2}c - 2{a^3}b - {a^3}c$

$\displaystyle c = 1 - b$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {A_3} = {a^3}{b^2} + a{b^3}\left( {1 - b} \right) + {a^3} + a{b^2}{\left( {1 - b} \right)^2} + {a^3}b\left( {1 - b} \right) - a{b^2}\left( {1 - b} \right) - 2{a^3}b - {a^3}\left( {1 - b} \right)$

$\displaystyle {A_3} = {a^3}{b^2} + a{b^3} - a{b^4} + {a^3} + a{b^2}\left( {1 - 2b + {b^2}} \right) + {a^3}b - {a^3}{b^2} - a{b^2} + a{b^3} - 2{a^3}b - {a^3} + {a^3}b$

$\displaystyle {A_3} = \cancel{{{a^3}{b^2}}} + \cancel{{a{b^3}}} - \cancel{{a{b^4}}} + \cancel{{{a^3}}} + \cancel{{a{b^2}}} - \cancel{{2a{b^3}}} + \cancel{{a{b^4}}} + \cancel{{{a^3}b}} - \cancel{{{a^3}{b^2}}} - \cancel{{a{b^2}}} + \cancel{{a{b^3}}} - \cancel{{2{a^3}b}} - \cancel{{{a^3}}} + \cancel{{{a^3}b}}$

$\displaystyle {A_3} = 0$

$\displaystyle {P_3} = {A_3}\frac{1}{{{b^3}}}$ olduğundan $\displaystyle {A_2}$ değerinin yerine yazılması suretiyle $\displaystyle {P_2}$ değeri bulunur.

$\displaystyle {P_3} = \frac{0}{{{b^3}}}$

$\displaystyle {P_3} = 0$

Yukarıda hesaplanan $\displaystyle P$ , $\displaystyle {P_1}$ , $\displaystyle {P_2}$ ve $\displaystyle {P_3}$ değerleri aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle P = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}\left( {2 - b} \right)}}{{{b^3}}}$

$\displaystyle {P_1} = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}\left( {2 - b} \right)a}}{{{b^3}}}$

$\displaystyle {P_2} = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}\left( {2 - b} \right)c}}{{{b^3}}}$

$\displaystyle {P_3} = 0$

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{\left| {{P_1}} \right|}}{{\left| P \right|}}$ , $\displaystyle {\varphi _2} = \frac{{\left| {{P_2}} \right|}}{{\left| P \right|}}$ ve $\displaystyle {\varphi _3} = \frac{{\left| {{P_3}} \right|}}{{\left| P \right|}}$ olduğundan P değerlerine yerine yazılarak AR(2) sürecinin 3 dönem gecikmeli kısmi otokorelasyon katsayılarını temsil eden $\displaystyle {\varphi _1}$ , $\displaystyle {\varphi _2}$ ve $\displaystyle {\varphi _3}$ hesaplanır.

Sistemin $\displaystyle {\varphi _1}$ için çözümü aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\varphi _1} = \frac{{\left| {{P_1}} \right|}}{{\left| P \right|}} = \frac{{\frac{{\cancel{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}\cancel{{\left( {2 - b} \right)}}a}}{{\cancel{{{b^3}}}}}}}{{\frac{{\cancel{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}\cancel{{\left( {2 - b} \right)}}}}{{\cancel{{{b^3}}}}}}} = a$

$\displaystyle a = {\phi _1}$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {\varphi _1} = {\phi _1}$

Sistemin $\displaystyle {\varphi _2}$ için çözümü aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\varphi _2} = \frac{{\left| {{P_2}} \right|}}{{\left| P \right|}} = \frac{{\frac{{\cancel{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}\cancel{{\left( {2 - b} \right)}}c}}{{\cancel{{{b^3}}}}}}}{{\frac{{\cancel{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}\cancel{{\left( {2 - b} \right)}}}}{{\cancel{{{b^3}}}}}}} = c$

$\displaystyle c = {\phi _2}$ olduğundan denklemde yerine yazılır.

$\displaystyle {\varphi _2} = {\phi _2}$

Sistemin $\displaystyle {\varphi _3}$ için çözümü aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\varphi _3} = \frac{{\left| {{P_3}} \right|}}{{\left| P \right|}} = \frac{0}{{\frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}\left( {2 - b} \right)}}{{{b^3}}}}} = 0$

$\displaystyle {\varphi _3} = 0$

Yukarıda görüldüğü gibi AR(2) sürecinin 3 dönem gecikmeye kadar kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) $\displaystyle {\varphi _1} = {\phi _1}$ , $\displaystyle {\varphi _2} = {\phi _2}$ ve $\displaystyle {\varphi _3} = 0$ olmaktadır.

Gecikme uzunluğu her ne olursa olsun AR(2) süreci kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) açısından 2. gecikmeden sonra durağandır.

O halde gecikme uzunluğu her ne olursa olsun AR(p) süreci kısmi otokorelasyon katsayıları (PACF) açısından p. gecikmeden sonra durağan olduğu söylenebilir.

5.7. AR(p) Sürecinin Varyansı

AR(p) sürecinin varyansı aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\varepsilon _t} = {\phi _1}{\varepsilon _{t - 1}} + {\phi _2}{\varepsilon _{t - 2}} + \ldots + {\phi _p}{\varepsilon _{t - p}} + {\omega _t}$

Yukarıdan denklem AR(p) sürecini temsil etmek üzere denklemin her iki tarafı da $\displaystyle {\varepsilon _{t - k}}$ ile çarpılır.

Beklenen değer operatörü ilave edilir.

Hata terimi $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’nin $\displaystyle {\varepsilon _{t - k}}$ ile çarpımının beklenen değeri, $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’nin k dönem gecikmeli kovaryansını ifade eder.

$\displaystyle {\gamma _k} = {\phi _1}{\gamma _{k - 1}} + {\phi _2}{\gamma _{k - 2}} + \ldots + {\phi _p}{\gamma _{k - p}} + E\left[ {{\omega _t}{\varepsilon _{t - k}}} \right]$

$\displaystyle k = 0$ olmak koşuluyla eşitliğin en sağından bulunan $\displaystyle {\varepsilon _{t - k}}$ ’nın beklenen değeri, $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’nin beklenen değerine eşit olacaktır.

$\displaystyle {\gamma _0} = {\phi _1}{\gamma _1} + {\phi _2}{\gamma _2} + \ldots + {\phi _p}{\gamma _p} + \underbrace {E\left[ {{\omega _t}{\varepsilon _t}} \right]}_{\delta _\omega ^2}$

AR(p) sürecinin kendisi $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’ye eşit olup yukarıdaki denklemde bulunan $\displaystyle E\left[ {{\omega _t}{\varepsilon _t}} \right]$ ifadesinde $\displaystyle {\varepsilon _t}$ yerine AR(p) süreci yazılacak olursa problemsiz hata terimi $\displaystyle {\omega _t}$ ’nin varyansı ( $\displaystyle \delta _\omega ^2$ ) elde edilecektir.

$\displaystyle {\varepsilon _t} = {\phi _1}{\varepsilon _{t - 1}} + {\phi _2}{\varepsilon _{t - 2}} + \ldots + {\phi _p}{\varepsilon _{t - p}} + {\omega _t}$

$\displaystyle E\left[ {{\omega _t}{\varepsilon _t}} \right] = E\left[ {{\omega _t}\left( {{\phi _1}{\varepsilon _{t - 1}} + {\phi _2}{\varepsilon _{t - 2}} + \ldots + {\phi _p}{\varepsilon _{t - p}} + {\omega _t}} \right)} \right]$

$\displaystyle E\left[ {{\omega _t}{\varepsilon _t}} \right] = E\left[ {{\phi _1}{\varepsilon _{t - 1}}{\omega _t} + {\phi _2}{\varepsilon _{t - 2}}{\omega _t} + \ldots + {\phi _p}{\varepsilon _{t - p}}{\omega _t} + {\omega _t}{\omega _t}} \right]$

$\displaystyle E\left[ {{\omega _t}{\varepsilon _t}} \right] = {\phi _1}E\left[ {{\varepsilon _{t - 1}}} \right]\underbrace {E\left[ {{\omega _t}} \right]}_0 + {\phi _2}E\left[ {{\varepsilon _{t - 2}}} \right]\underbrace {E\left[ {{\omega _t}} \right]}_0 + \ldots + {\phi _p}E\left[ {{\varepsilon _{t - p}}} \right]\underbrace {E\left[ {{\omega _t}} \right]}_0 + \underbrace {E\left[ {\omega _t^2} \right]}_{\delta _\omega ^2}$

$\displaystyle E\left[ {{\omega _t}{\varepsilon _t}} \right] = \delta _\omega ^2$

$\displaystyle E\left[ {{\omega _t}{\varepsilon _t}} \right] = \delta _\omega ^2$ olduğundan yukarıdaki kovaryans denkleminde yerine yazılır.

$\displaystyle {\gamma _k} = {\phi _1}{\gamma _{k - 1}} + {\phi _2}{\gamma _{k - 2}} + \ldots + {\phi _p}{\gamma _{k - p}} + \delta _\omega ^2$

Eşitliğin tüm elemanları hata terimi $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’nin varyansını temsil eden $\displaystyle {\gamma _0}$ ’a bölünür.

$\displaystyle \underbrace {\frac{{{\gamma _0}}}{{{\gamma _0}}}}_{{\rho _0} = 1} = {\phi _1}\underbrace {\frac{{{\gamma _1}}}{{{\gamma _0}}}}_{{\rho _1}} + {\phi _2}\underbrace {\frac{{{\gamma _2}}}{{{\gamma _0}}}}_{{\rho _2}} + \ldots + {\phi _p}\underbrace {\frac{{{\gamma _p}}}{{{\gamma _0}}}}_{{\rho _p}} + \frac{{\delta _\omega ^2}}{{{\gamma _0}}}$

Her alternatif gecikme uzunluğunda kovaryansların varyansa bölümü basit otokorelasyon katsayılarına (ACF, Autocorrelation Function) eşittir.

$\displaystyle 1 = {\phi _1}{\rho _1} + {\phi _2}{\rho _2} + {\phi _3}{\rho _3} + \ldots + {\phi _{p - 1}}{\rho _{p - 1}} + {\phi _p}{\rho _p} + \frac{{\delta _\omega ^2}}{{{\gamma _0}}}$

Yukardaki denklem $\displaystyle {\gamma _0}$ için çözülür.

$\displaystyle 1 - {\phi _1}{\rho _1} - {\phi _2}{\rho _2} - {\phi _3}{\rho _3} - \ldots - {\phi _{p - 1}}{\rho _{p - 1}} - {\phi _p}{\rho _p} = \frac{{\delta _\omega ^2}}{{{\gamma _0}}}$

$\displaystyle {\gamma _0}\left( {1 - {\phi _1}{\rho _1} - {\phi _2}{\rho _2} - {\phi _3}{\rho _3} - \ldots - {\phi _{p - 1}}{\rho _{p - 1}} - {\phi _p}{\rho _p}} \right) = \delta _\omega ^2$

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2}}{{\left( {1 - {\phi _1}{\rho _1} - {\phi _2}{\rho _2} - {\phi _3}{\rho _3} - \ldots - {\phi _{p - 1}}{\rho _{p - 1}} - {\phi _p}{\rho _p}} \right)}}$

Yukarıdaki ifade AR(p) sürecinin varyansını temsil etmektedir.

Söz gelimi AR(1) süreci için esas modelin hata terimi $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’nin varyansını temsil eden $\displaystyle {\gamma _0}$ yukarıdaki denklem yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir.

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2}}{{\left( {1 - {\phi _1}{\rho _1}} \right)}}$

Hatırlanacağı üzere yukarıda ACF analizinde AR(1) süreci için $\displaystyle {\rho _1} = {\phi _1}$ olduğundan denklemde yerine yazılır ve AR(1) süreci için $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’nin varyansı elde edilmiş olur.

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2}}{{1 - \phi _1^2}}$

Hatırlanacağı üzere yukarıdaki ifade AR(1) sürecinin varyansında bulunan ifade ile aynıdır. Yukarıdaki ifadenin paydası çarpanlarına ayrılır.

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2}}{{\left( {1 - {\phi _1}} \right)\left( {1 + {\phi _1}} \right)}}$

Yukarıdaki ifadenin payında bulunan problemsiz hata terimi $\displaystyle \omega$ ’nın varyansı $\displaystyle \delta _\omega ^2 > 0$ olmak zorundadır. Çünkü $\displaystyle \omega$ ’nın varyansı $\displaystyle \omega$ ’nın karesinin beklenen değerine eşittir; $\displaystyle E\left( {\omega _t^2} \right)$ . Benzer bakış açısından esas modelin hata terimi $\displaystyle \varepsilon$ ’nun varyansı $\displaystyle \delta _\varepsilon ^2 > 0$ olmak zorundadır. Dolayısıyla $\displaystyle \delta _\varepsilon ^2$ ’nun tanımlı ya da $\displaystyle \delta _\varepsilon ^2 > 0$ olabilmesi için yukarıdaki ifadenin paydası kesinlikle 0’dan büyük olmak zorundadır.

$\displaystyle \left( {1 - {\phi _1}} \right)\left( {1 + {\phi _1}} \right) > 0$

$\displaystyle \left( {1 - {\phi _1}} \right) > 0$ $\displaystyle \to$ $\displaystyle {\phi _1} < 1$

$\displaystyle \left( {1 + {\phi _1}} \right) > 0$ $\displaystyle \to$ $\displaystyle {\phi _1} > - 1$

O halde daha önce de belirtildiği gibi AR(1) sürecinin durağanlık koşulu $\displaystyle - 1 < {\phi _1} < 1$ ya da $\displaystyle \left| {{\phi _1}} \right| < 1$ şeklinde ifade edilebilir. Esas modelin hata terimi $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’nin varyansını temsil eden $\displaystyle {\gamma _0}$ AR(2) süreci için de benzer şekilde yukarıdaki denklem yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir.

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2}}{{\left( {1 - {\phi _1}{\rho _1} - {\phi _2}{\rho _2}} \right)}}$

Hatırlanacağı üzere yukarıda ACF analizinde AR(2) süreci için $\displaystyle {\rho _1} = \frac{{{\phi _1}}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}$ ve $\displaystyle {\rho _2} = \frac{{\left( {1 - {\phi _2}} \right) \cdot {\phi _2} + \phi _1^2}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}$ olduğundan denklemde yerine yazılır ve AR(2) süreci için $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’nin varyansı elde edilmiş olur.

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2}}{{\left( {1 - {\phi _1}\frac{{{\phi _1}}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}} - {\phi _2}\frac{{\left( {1 - {\phi _2}} \right) \cdot {\phi _2} + \phi _1^2}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}} \right)}}$

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2}}{{\left( {1 - \frac{{\phi _1^2}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}} - \frac{{\left( {1 - {\phi _2}} \right) \cdot \phi _2^2 + \phi _1^2{\phi _2}}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}} \right)}}$

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2}}{{\left( {\frac{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}} - \frac{{\phi _1^2}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}} - \frac{{\left( {1 - {\phi _2}} \right) \cdot \phi _2^2 + \phi _1^2{\phi _2}}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}} \right)}}$

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2}}{{\left( {\frac{{\left( {1 - {\phi _2}} \right) - \phi _1^2 - \left( {1 - {\phi _2}} \right) \cdot \phi _2^2 - \phi _1^2{\phi _2}}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}} \right)}}$

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right) - \phi _1^2 - \left( {1 - {\phi _2}} \right) \cdot \phi _2^2 - \phi _1^2{\phi _2}}}$

Yukarıdaki ifadenin paydası aşağıda gösterildiği gibi düzenlenebilir.

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)\left( {1 - \phi _2^2} \right) - \phi _1^2 - \phi _1^2{\phi _2}}}$

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)\left( {1 - \phi _2^2} \right) - \phi _1^2\left( {1 + {\phi _2}} \right)}}$

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)\left( {1 - {\phi _2}} \right)\left( {1 + {\phi _2}} \right) - \phi _1^2\left( {1 + {\phi _2}} \right)}}$

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}{{\left( {1 + {\phi _2}} \right)\left( {{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}^2} - \phi _1^2} \right)}}$

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}{{\left( {1 + {\phi _2}} \right)\left( {1 - {\phi _2} - {\phi _1}} \right)\left( {1 - {\phi _2} + {\phi _1}} \right)}}$

Daha önce de ifade edildiği gibi yukarıdaki ifadenin payında bulunan problemsiz hata terimi $\displaystyle \omega$ ’nın varyansı $\displaystyle \delta _\omega ^2 > 0$ olmak zorundadır. Çünkü $\displaystyle \omega$ ’nın varyansı $\displaystyle \omega$ ’nın karesinin beklenen değerine eşittir; $\displaystyle E\left( {\omega _t^2} \right)$ . Benzer bakış açısından esas modelin hata terimi $\displaystyle \varepsilon$ ’nun varyansı $\displaystyle \delta _\varepsilon ^2$ , yani $\displaystyle {\gamma _0} > 0$ olmak zorundadır. Dolayısıyla $\displaystyle {\gamma _0}$ ’ın tanımlı ya da $\displaystyle {\gamma _0} > 0$ olabilmesi için yukarıdaki ifadenin paydası kesinlikle 0’dan büyük olmak zorundadır.

$\displaystyle \left( {1 + {\phi _2}} \right)\left( {1 - {\phi _2} - {\phi _1}} \right)\left( {1 - {\phi _2} + {\phi _1}} \right) > 0$

$\displaystyle \left( {1 + {\phi _2}} \right) > 0$ $\displaystyle \to$ $\displaystyle {\phi _2} > - 1$

$\displaystyle \left( {1 - {\phi _2} - {\phi _1}} \right) > 0$ $\displaystyle \to$ $\displaystyle {\phi _1} + {\phi _2} < 1$

$\displaystyle \left( {1 - {\phi _2} + {\phi _1}} \right) > 0$ $\displaystyle \to$ $\displaystyle {\phi _2} - {\phi _1} < 1$

$\displaystyle {\phi _1} + {\phi _2} < 1$ ve $\displaystyle {\phi _2} - {\phi _1} < 1$ taraf tarafa toplanacak olursa $\displaystyle {\phi _2}$ ’nin diğer kısıtı bulunur.

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{c}} {{\phi _1} + {\phi _2} < 1} \\ {{\phi _2} - \cancel{{{\phi _1}}} < 1} \\ { + \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_} \\ {2{\phi _2} < 2} \end{array}$

$\displaystyle {\phi _2} < \frac{2}{2}$

$\displaystyle {\phi _2} < 1$

$\displaystyle {\phi _2} > - 1$ ve $\displaystyle {\phi _2} < 1$ ise $\displaystyle {\phi _2}$ ’nin kısıtları $\displaystyle - 1 < {\phi _2} < 1$ ya da $\displaystyle \left| {{\phi _2}} \right| < 1$ şeklinde ifade edilebilir. O halde AR(2) sürecinin durağanlık koşulları aşağıda gösterildiği gibi olmalıdır.

$\displaystyle {\phi _1} + {\phi _2} < 1$

$\displaystyle {\phi _2} - {\phi _1} < 1$

$\displaystyle - 1 < {\phi _2} < 1$ ya da $\displaystyle \left| {{\phi _2}} \right| < 1$

Dikkat edilirse durağanlık koşulları geçerli iken AR süreci için esas modelin hata terimi $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’nin varyansı gecikme uzunluğu k’den etkilenmemekte olup AR sürecinin sırasını temsil eden p’ye göre değişmektedir. Esas modelin hata terimi $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ’nin varyansının sabit olması ile işaret edilen gecikme uzunluğuna göre varyansın sabit olmasıdır. Dolayısıyla varyansın AR sürecinin sırasını temsil eden p’ye göre değişmesi varyansın sabit olmadığı anlamına gelmez.

5.8. AR(p) Sürecinin Kovaryansları

k gecikme uzunluğu, $\displaystyle {\rho _k}$ $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ‘nin k dönem gecikmeli basit otokorelasyon katsayısını, $\displaystyle {\gamma _0}$ $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ‘nin varyansını ve $\displaystyle {\gamma _k}$ $\displaystyle {\varepsilon _t}$ ‘nin k dönem gecikmeli kovaryansını temsil etmek üzere basit otokorelasyon katsayısı (ACF) aşağıda gösterildiği gibi hesaplanmaktaydı.

$\displaystyle {\rho _k} = \frac{{{\gamma _k}}}{{{\gamma _0}}}$

Yukarıdaki ifade $\displaystyle {\gamma _k}$ için çözülecek olursa AR sürecinin kovaryanslarını temsil edecektir.

$\displaystyle {\gamma _k} = {\rho _k}{\gamma _0}$

AR(p) süreci için basit otokorelasyon katsayıları $\displaystyle {\rho _k}$ ve esas modelin hata terimi $\displaystyle \varepsilon$ ’nun varyansı $\displaystyle {\gamma _0}$ yukarıda hesaplandığından yerine koymak suretiyle AR(p) sürecinin kovaryansları kolaylıkla elde edilebilir.

Söz gelimi AR(1) süreci için basit otokorelasyon katsayıları (ACF) $\displaystyle {\rho _k}$ ve esas modelin hata teriminin varyansı $\displaystyle {\gamma _0}$ aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\rho _1} = {\phi _1}$

$\displaystyle {\rho _2} = \phi _1^2$

$\displaystyle {\rho _3} = \phi _1^3$

$\displaystyle \vdots$

$\displaystyle {\rho _k} = \phi _1^k$

$\displaystyle {\gamma _0} = \frac{{\delta _\omega ^2}}{{1 - \phi _1^2}}$

$\displaystyle {\gamma _k} = {\rho _k}{\gamma _0}$ denkleminde $\displaystyle \rho$ ’lar ve $\displaystyle {\gamma _0}$ yerine yazılması suretiyle k gecikme uzunluğuna göre AR(1) sürecinin kovaryansları elde edilir.

$\displaystyle {\gamma _1} = {\rho _1}{\gamma _0}$ $\displaystyle \to$ $\displaystyle {\gamma _1} = \frac{{{\phi _1}\delta _\omega ^2}}{{1 - \phi _1^2}}$

$\displaystyle {\gamma _2} = {\rho _2}{\gamma _0}$ $\displaystyle \to$ $\displaystyle {\gamma _2} = \frac{{\phi _1^2\delta _\omega ^2}}{{1 - \phi _1^2}}$

$\displaystyle {\gamma _3} = {\rho _3}{\gamma _0}$ $\displaystyle \to$ $\displaystyle {\gamma _3} = \frac{{\phi _1^3\delta _\omega ^2}}{{1 - \phi _1^2}}$

$\displaystyle \vdots$

$\displaystyle {\gamma _k} = {\rho _k}{\gamma _0}$ $\displaystyle \to$ $\displaystyle {\gamma _k} = \frac{{\phi _1^k\delta _\omega ^2}}{{1 - \phi _1^2}}$

AR(1) sürecinin kovaryanslarının tanımlı olabilmesi varyansının tanımlı olmasına bağlıdır. Dolayısıyla kovaryanslar açısından bakıldığında da durağanlık koşulu yine $\displaystyle - 1 < {\phi _1} < 1$ olmaktadır.

Benzer şekilde AR(2) süreci için basit otokorelasyon katsayıları (ACF) $\displaystyle {\rho _k}$ ve esas modelin hata teriminin varyansı $\displaystyle {\gamma _0}$ aşağıda gösterilmiştir.

$\displaystyle {\rho _1} = \frac{{{\phi _1}}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}$

$\displaystyle {\rho _2} = \frac{{\phi _1^2 + {\phi _2}\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}$

$\displaystyle {\rho _3} = \frac{{\phi _1^3 + {\phi _1}{\phi _2} + {\phi _1}{\phi _2}\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}$

$\displaystyle \vdots$

$\displaystyle {\gamma _1} = \frac{{{\phi _1}}}{{\cancel{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}}}\frac{{\delta _\omega ^2\cancel{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}}}{{\left( {1 + {\phi _2}} \right)\left( {1 - {\phi _2} - {\phi _1}} \right)\left( {1 - {\phi _2} + {\phi _1}} \right)}}$

$\displaystyle {\gamma _1} = \frac{{{\phi _1}\delta _\omega ^2}}{{\left( {1 + {\phi _2}} \right)\left( {1 - {\phi _2} - {\phi _1}} \right)\left( {1 - {\phi _2} + {\phi _1}} \right)}}$

$\displaystyle {\gamma _2} = \frac{{\phi _1^2 + {\phi _2}\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}{{\cancel{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}}}\frac{{\delta _\omega ^2\cancel{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}}}{{\left( {1 + {\phi _2}} \right)\left( {1 - {\phi _2} - {\phi _1}} \right)\left( {1 - {\phi _2} + {\phi _1}} \right)}}$

$\displaystyle {\gamma _2} = \frac{{\left( {\phi _1^2 + {\phi _2}\left( {1 - {\phi _2}} \right)} \right)\delta _\omega ^2}}{{\left( {1 + {\phi _2}} \right)\left( {1 - {\phi _2} - {\phi _1}} \right)\left( {1 - {\phi _2} + {\phi _1}} \right)}}$

$\displaystyle {\gamma _3} = \frac{{\phi _1^3 + {\phi _1}{\phi _2} + {\phi _1}{\phi _2}\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}{{\cancel{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}}}\frac{{\delta _\omega ^2\cancel{{\left( {1 - {\phi _2}} \right)}}}}{{\left( {1 + {\phi _2}} \right)\left( {1 - {\phi _2} - {\phi _1}} \right)\left( {1 - {\phi _2} + {\phi _1}} \right)}}$

$\displaystyle {\gamma _3} = \frac{{\left( {\phi _1^3 + {\phi _1}{\phi _2} + {\phi _1}{\phi _2}\left( {1 - {\phi _2}} \right)} \right)\delta _\omega ^2}}{{\left( {1 + {\phi _2}} \right)\left( {1 - {\phi _2} - {\phi _1}} \right)\left( {1 - {\phi _2} + {\phi _1}} \right)}}$

$\displaystyle \vdots$

AR(2) sürecinin kovaryanslarının tanımlı olabilmesi varyansının tanımlı olmasına bağlıdır. Dolayısıyla kovaryanslar açısından bakıldığında da durağanlık koşulu AR(2) sürecinin varyansında yapılan durağanlık koşulu ile aynı olacaktır.

$\displaystyle {\phi _1} + {\phi _2} < 1$

$\displaystyle {\phi _2} - {\phi _1} < 1$

$\displaystyle - 1 < {\phi _2} < 1$ ya da $\displaystyle \left| {{\phi _2}} \right| < 1$

AR(2) süreci için yukarıda belirtilen durağanlık koşulları geçerli iken MA sürecinin tersine AR(2) sürecinde basit otokorelasyon katsayıları (ACF) belirli bir gecikmeden sonra birdenbire 0’a eşit olmak yerine, k gecikme uzunluğu arttıkça AR(1) sürecinde olduğu gibi aşamalı olarak 0’a yaklaşmaktadır.

İshak Kutlu, Ekonometri Notları

Otokorelasyon, Ardışık Bağımlılık veya İçsel Bağıntı Sorunu – 3

5.6. AR(p) Sürecinin Kısmi Otokorelasyon Katsayıları (PACF)

5.7. AR(p) Sürecinin Varyansı

5.8. AR(p) Sürecinin Kovaryansları

Yorum Yap

Yanıtı İptal Et

İshak Kutlu