Çoklu Doğrusal Bağlantı veya Çoklu Doğrusallık Sorunu

İçindekiler

1. Çoklu Doğrusallık Sorunu

Aşağıdaki gibi bir model olsun.

$\displaystyle Y = {\beta _0} + {\beta _1}{X_1} + {\beta _2}{X_2} + {\beta _3}{X_3} + {\beta _4}{X_4} + \varepsilon$

Yukarıdaki modelin amacı bağımsız değişkenleri temsil eden X’lerin, bağımlı değişken Y’yi açıklamasıdır.

Ancak bağımsız değişkenleri temsil eden X’lerin kendi aralarında da birbirini açıklaması söz konusu ise çoklu doğrusal bağlantı sorunu ortaya çıkar.

2. Korelasyon Katsayısı (r)

Çoklu doğrusal bağlantı sorunu, iki rassal değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve gücünü belirten ve -1 ile +1 arasında sayısal değer alabilen korelasyon katsayısı yardımıyla açıklanabilir.

$\displaystyle 1 \leqslant i \leqslant 4$

$\displaystyle 1 \leqslant j \leqslant 4$

$\displaystyle 1 \leqslant t \leqslant 6$

$\displaystyle n = 6$

r korelasyon katsayısı, i ve j bağımsız değişken sayısı, n gözlem sayısı, $\displaystyle \mu$ ilgili değişkenin ortalaması, $\displaystyle \sigma$ ilgili değişkenin standart hatası ve t gözlem sırası olmak üzere korelasyon katsayısı aşağıdaki gibi hesaplanır.

$\displaystyle {r_{{X_i},{X_j}}} = \frac{{Cov\left( {{X_i},{X_j}} \right)}}{{{\sigma _{{X_i}}}{\sigma _{{X_j}}}}}$

$\displaystyle {r_{{X_i},{X_j}}} = \frac{{Cov\left( {{X_i},{X_j}} \right)}}{{\sqrt {Var\left( {{X_i}} \right)} \sqrt {Var\left( {{X_j}} \right)} }}$

$\displaystyle {r_{{X_i},{X_j}}} = \frac{{E\left( {\left( {{X_{i,t}} - {\mu _{{X_i}}}} \right)\left( {{X_{j,t}} - {\mu _{{X_j}}}} \right)} \right)}}{{\sqrt {E\left( {{{\left( {{X_{i,t}} - {\mu _{{X_i}}}} \right)}^2}} \right)} \sqrt {E\left( {{{\left( {{X_{j,t}} - {\mu _{{X_j}}}} \right)}^2}} \right)} }}$

${r_{{X_i},{X_j}}} = 1$ ise tam çoklu doğrusal bağlantı söz konusudur. Tam çoklu doğrusal bağlantı halinde modelin tahmin edilmesi mümkün değildir.

${r_{{X_i},{X_j}}} = 0$ ise çoklu doğrusal bağlantı söz konusu değildir ve çoklu doğrusal bağlantı açısından modelin tahmin edilmesi sorun oluşturmaz.

$0 < {r_{{X_i},{X_j}}} < 1$ ise çoklu doğrusal bağlantı söz konusu olabilir. X’ler arasındaki korelasyon katsayısı 0 ile 1 arasında iken modelin tahmin edilmesi mümkündür. Ancak X’ler arasındaki korelasyon katsayısı 1’e yaklaştıkça tahmin edilen modelin,

katsayı varyansları yukarı yönde,
t istatistikleri aşağı yönde,
güven aralıkları yukarı yönde,
belirlilik katsayısı ${R^2}$ yukarı yönde

sapmalı olacaktır.

Yukarıdaki açıklamalar çerçevesinde X değerlerinin aşağıdaki gözlemlerden oluştuğu varsayılarak çoklu doğrusal bağlantı sorunu ele alınabilir.

$\displaystyle {t_{}}$	$\displaystyle {Y_{}}$	$\displaystyle {X_1}$	$\displaystyle {X_2}$	$\displaystyle {X_3}$	$\displaystyle {X_4}$
1	9	20	4	43	18
2	11	10	2	19	30
3	7	30	6	61	33
4	12	50	10	102	25
5	15	40	8	78	22
6	13	60	12	124	34

$\displaystyle {X_1}$ ve $\displaystyle {X_2}$ arasındaki korelasyon katsayısı aşağıdaki gibi hesaplanacak olursa $\displaystyle {r_{{X_1},{X_2}}} = 1$ olacaktır.

$\displaystyle {r_{{X_1},{X_2}}} = \frac{{E\left( {\left( {{X_{1,t}} - {\mu _{{X_1}}}} \right)\left( {{X_{2,t}} - {\mu _{{X_2}}}} \right)} \right)}}{{\sqrt {E\left( {{{\left( {{X_{1,t}} - {\mu _{{X_1}}}} \right)}^2}} \right)} \sqrt {E\left( {{{\left( {{X_{2,t}} - {\mu _{{X_2}}}} \right)}^2}} \right)} }}$

$\displaystyle {r_{{X_1},{X_2}}} = 1$

Yukarıdaki tabloda her alternatif $\displaystyle {X_2}$ gözleminin değeri, $\displaystyle {X_1}$ ’in 0,2 katına eşittir; yani $\displaystyle {X_2}$ , $\displaystyle {X_1}$ ’in $\displaystyle {X_2} = 0,2.{X_1}$ şeklinde deterministik bir fonksiyonudur.

$\displaystyle {t_{}}$	$\displaystyle {X_1}$	*0,2 =	$\displaystyle {X_2}$
1	20	*0,2 =	4
2	10	*0,2 =	2
3	30	*0,2 =	6
4	50	*0,2 =	10
5	40	*0,2 =	8
6	60	*0,2 =	12

Kısacası $\displaystyle {X_1}$ ve $\displaystyle {X_2}$ arasında korelasyon katsayısı 1’e eşit olduğundan modelde tam çoklu doğrusal bağlantı sorunu vardır ve bu yüzden modeli tahmin etmek mümkün olmaz.

$\displaystyle {X_1}$ ve $\displaystyle {X_3}$ arasındaki korelasyon katsayısı aşağıdaki gibi hesaplanacak olursa ${r_{{X_1},{X_3}}} = {\text{0}}{\text{,9985}}$ olacaktır.

$\displaystyle {r_{{X_1},{X_3}}} = \frac{{E\left( {\left( {{X_{1,t}} - {\mu _{{X_1}}}} \right)\left( {{X_{3,t}} - {\mu _{{X_3}}}} \right)} \right)}}{{\sqrt {E\left( {{{\left( {{X_{1,t}} - {\mu _{{X_1}}}} \right)}^2}} \right)} \sqrt {E\left( {{{\left( {{X_{3,t}} - {\mu _{{X_3}}}} \right)}^2}} \right)} }}$

${r_{{X_1},{X_3}}} = {\text{0}}{\text{,9985}}$

Yukarıdaki tabloda her alternatif $\displaystyle {X_3}$ gözleminin değeri, $\displaystyle {X_1}$ ’in yaklaşık 2 katına eşittir; yani $\displaystyle {X_3}$ , $\displaystyle {X_1}$ ’in $\displaystyle {X_3} = 2.{X_1} + u$ şeklinde korelasyonu yüksek stokastik bir fonksiyonudur.

$\displaystyle {t_{}}$	$\displaystyle {X_1}$	*2 +	u =	$\displaystyle {X_3}$
1	20	*2 +	3 =	43
2	10	*2 +	-1 =	19
3	30	*2 +	1 =	61
4	50	*2 +	2 =	102
5	40	*2 +	-2 =	78
6	60	*2 +	4 =	124

Kısacası $\displaystyle {X_1}$ ve $\displaystyle {X_3}$ arasında korelasyon katsayısı 1’e yakın olduğundan modelde çoklu doğrusal bağlantı sorunu vardır. $\displaystyle {X_1}$ ve $\displaystyle {X_3}$ arasında korelasyon katsayısı 1’e eşit olmadığından modeli tahmin etmek mümkün olmakla birlikte yukarıda belirtildiği gibi modelin bazı istatistikleri sapmalı olacaktır.

Uygulamada tam çoklu doğrusal bağlantıya genellikle rastlanmaz. Ancak X’ler arasında korelasyonu 1’e yakın olan çoklu doğrusal bağlantı ile karşılaşmak daha olasıdır.

$\displaystyle {r_{{X_i},{X_j}}}$	$\displaystyle {X_1}$	$\displaystyle {X_2}$	$\displaystyle {X_3}$	$\displaystyle {X_4}$
$\displaystyle {X_1}$	1
$\displaystyle {X_2}$	1	1
$\displaystyle {X_3}$	0,9985	0,9985	1
$\displaystyle {X_4}$	0,2510	0,2510	0,2521	1

Yukarıdaki tabloda X’lerin birbiriyle olan tüm korelasyon katsayıları gösterilmektedir. ${r_{{X_1},{X_1}}} = 1$ , ${r_{{X_2},{X_2}}} = 1$ , ${r_{{X_3},{X_3}}} = 1$ ve ${r_{{X_4},{X_4}}} = 1$ olması bir rassal değişkenin kendisiyle olan korelasyonun 1’e eşit olmasından kaynaklanır ve altı çizili olan 1’ler ilgili değişkenin kendisiyle olan korelasyonunu temsil etmektedir.

$\displaystyle {X_1}$ değişkeninin $\displaystyle {X_2}$ ile 1’ eşit, $\displaystyle {X_3}$ değişkeninin $\displaystyle {X_1}$ ve $\displaystyle {X_2}$ ile 1’e yakın bir korelasyonunun olduğu, $\displaystyle {X_4}$ değişkeninin ise diğer bağımsız değişkenler ile 1’e yakın bir korelasyonunun olmadığı görülmektedir.

Bir modelde herhangi bir bağımsız değişkenin en az bir bağımsız değişken ile korelasyonunun 1’e yakın olması halinde çoklu doğrusal bağlantı sorunu ortaya çıkar.

Uygulamada X’ler arasında korelasyonun olmadığı, yani korelasyon katsayısının sıfır olduğu durum sık rastlanan bir durum değildir. X’ler arasında korelasyon katsayısının sıfırdan farklı olması, modelde dikkate değer bir çoklu doğrusal bağlantı sorunu olduğu anlamına gelmez. Bu sebeple literatürde bir modelde çoklu doğrusal bağlantı derecesini ölçen ve eşik değerler tespit eden aşağıdaki alternatif yöntemler geliştirilmiştir.

3. Varyans Büyütme Kriteri (Variance Inflation Factors, VIF)

VIF kriteri, tahmin edilen modelin istatistiklerinin çoklu doğrusal bağlantı nedeniyle gerçek değerlerinden ne derece uzaklaştığını ölçer.

Başlangıçta belirtilen temsili model üzerinden VIF kriteri açıklanabilir.

$Y = {\beta _0} + {\beta _1}{X_1} + {\beta _2}{X_2} + {\beta _3}{X_3} + {\beta _4}{X_4} + \varepsilon$

m, modelde bulunan bağımsız değişken (X) sayısı olmak üzere, yukarıdaki model için m tane, yani 4 tane VIF kriteri hesaplanır.

$VI{F_i} = \frac{1}{{1 - R_i^2}}$

Modelde bulunan X’ler aşağıdaki gibi sırasıyla diğer tüm X’lerin stokastik bir fonksiyonu olarak tanımlanıp EKK (OLS) ile tahmin edilir.

${X_1} = {\hat a_0} + {\hat a_2}{X_2} + {\hat a_3}{X_3} + {\hat a_4}{X_4} + \hat u$

$VI{F_1} = \frac{1}{{1 - R_1^2}}$

${X_2} = {\hat b_0} + {\hat b_1}{X_1} + {\hat b_3}{X_3} + {\hat b_4}{X_4} + \hat w$

$VI{F_2} = \frac{1}{{1 - R_2^2}}$

${X_3} = {\hat c_0} + {\hat c_1}{X_1} + {\hat c_2}{X_2} + {\hat c_4}{X_4} + \hat \psi$

$VI{F_3} = \frac{1}{{1 - R_3^2}}$

${X_4} = {\hat d_0} + {\hat d_1}{X_1} + {\hat d_2}{X_2} + {\hat d_3}{X_3} + \hat \omega$

$VI{F_4} = \frac{1}{{1 - R_4^2}}$

$\displaystyle {t_{}}$	$\displaystyle {X_1}$	$\displaystyle {X_2}$	$\displaystyle {X_3}$	$\displaystyle {X_4}$
1	20	4	43	18
2	10	2	19	30
3	30	6	61	33
4	50	10	102	25
5	40	8	78	22
6	60	12	124	34

Yukarıdaki tabloda belirtilen X değişkenleri için hesaplanan VIF değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Değişken	$\displaystyle VI{F_i}$
$\displaystyle {X_1}{\text{ i\c{c}in VI}}{{\text{F}}_1}$	1.612.200.981.394.910,00* $\displaystyle {10^{15}}$
$\displaystyle {X_2}{\text{ i\c{c}in VI}}{{\text{F}}_2}$	306.778.019.069.926,00* $\displaystyle {10^{15}}$
$\displaystyle {X_3}{\text{ i\c{c}in VI}}{{\text{F}}_3}$	393,59
$\displaystyle {X_4}{\text{ i\c{c}in VI}}{{\text{F}}_4}$	1,55

Herhangi bir X değişkeni için hesaplanan VIF kriterinin 5’ten büyük olması halinde o değişkenin çoklu doğrusal bağlantı sorununa yol açtığı sonucuna varılabilir.

$\displaystyle {X_1}$ ve $\displaystyle {X_2}$ değişkenleri arasındaki korelasyon katsayısı 1 olduğundan $\displaystyle {X_1}$ ve $\displaystyle {X_2}$ için hesaplanan VIF kriteri astronomik derecede yüksek çıkmıştır. $\displaystyle {X_3}$ değişkeni ile $\displaystyle {X_1}$ ve $\displaystyle {X_2}$ değişkenleri arasındaki korelasyon katsayısı 1’e yakın olduğundan dolayı da $\displaystyle {X_3}$ için hesaplanan VIF kriteri ciddi derecede yüksek olmuştur. $\displaystyle {X_4}$ değişkeni ile $\displaystyle {X_1}$ , $\displaystyle {X_2}$ ve $\displaystyle {X_3}$ değişkenleri arasındaki korelasyon katsayısı 0’a yakın olduğundan dolayı da $\displaystyle {X_4}$ için hesaplanan VIF kriteri 5’ten küçük çıkmıştır.

Kısacası modelde bulunan $\displaystyle {X_1}$ ve $\displaystyle {X_2}$ değişkenleri tam çoklu doğrusal, $\displaystyle {X_3}$ değişkeni ise çoklu doğrusal bağlantı sorununa yol açmaktadır. $\displaystyle {X_4}$ değişkeni ise çoklu doğrusal bağlantı sorununa neden olmamaktadır.

VIF kriterinin çarpma işlemine göre tersi ise Tolerans (Tolerance) olarak adlandırılır.

$To{l_i} = \frac{1}{{VI{F_i}}} = 1 - R_i^2$

4. Klein Kriteri (Klein’s Rule of Thumb)

VIF kriterlerini hesaplamak için kullanılan $\displaystyle R_i^2$ değerleri ile esas modelin $\displaystyle {R^2}$ değeri karşılaştırılır. Eğer $\displaystyle R_i^2 \geqslant {R^2}$ ise çoklu doğrusal bağlantı önemlidir. Eğer $\displaystyle R_i^2 < {R^2}$ ise çoklu doğrusal bağlantı önemli değildir.

$\displaystyle {t_{}}$	$\displaystyle {Y_{}}$	$\displaystyle {X_1}$	$\displaystyle {X_2}$	$\displaystyle {X_3}$	$\displaystyle {X_4}$
1	9	20	4	43	18
2	11	10	2	19	30
3	7	30	6	61	33
4	12	50	10	102	25
5	15	40	8	78	22
6	13	60	12	124	34

Esas model aşağıdaki gibi tahmin edilir.

$Y = {\hat \beta _0} + {\hat \beta _1}{X_1} + {\hat \beta _2}{X_2} + {\hat \beta _3}{X_3} + {\hat \beta _4}{X_4} + \hat \varepsilon$

$\displaystyle {R^2} = {\text{0}}{\text{,6373}}$

VIF kriterlerini hesaplamak için tahmin edilen yardımcı modellerin $\displaystyle R_i^2$ değerleri ile esas modelin $\displaystyle {R^2}$ değeri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Çoklu Doğrusal Bağlantı (ÇDB)
Değişken	$\displaystyle R_i^2$	$\displaystyle {R^2}$	Sonuç
$\displaystyle {X_1}{\text{ i\c{c}in R}}_1^2$	1	0,6373	ÇDB VAR
$\displaystyle {X_2}{\text{ i\c{c}in R}}_2^2$	1	0,6373	ÇDB VAR
$\displaystyle {X_3}{\text{ i\c{c}in R}}_3^2$	0,9970	0,6373	ÇDB VAR
$\displaystyle {X_4}{\text{ i\c{c}in R}}_4^2$	0,3550	0,6373	ÇDB YOK

5. Koşullu Sayı Kriteri (Condition Number)

$\displaystyle \hat \beta$ , $\displaystyle X$ ve $\displaystyle Y$ birer matris olmak üzere $\displaystyle \beta$ katsayılarının tahmini matris formunda aşağıdaki şekilde hesaplanır.

$\displaystyle \hat \beta = {\left( {X'X} \right)^{ - 1}}X'Y$

Tahmin edici $\displaystyle \hat \beta$ ’in içinde yer alan $\displaystyle X'X$ matrisinin en büyük birim kökü $\displaystyle {\lambda _1}$ ve en küçük birim kökü $\displaystyle {\lambda _2}$ olmak üzere, en büyük birim kökün en küçük birim köke oranının karekökü koşullu sayı kriteri (Condition Index, CI) değerini verir.

$\displaystyle CI = \sqrt {\frac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _2}}}}$

Koşullu sayı kriteri değeri 10 ile 30 arasında ise çoklu doğrusal bağlantının orta derecede, 30’dan büyük olması durumunda ise yüksek derecede olduğu kabul edilebilir.

$\displaystyle CI \leqslant 10$ iken düşük derecede ÇDB’ya işaret eder.

$\displaystyle 10 < CI \leqslant 30$ iken orta derecede ÇDB’ya işaret eder.

$\displaystyle CI > 30$ iken yüksek derecede ÇDB’ya işaret eder.

Yukarıdaki örnek modelimizde $\displaystyle CI = 9999999$ olarak hesaplandığından yüksek derecede çoklu doğrusal bağlantı olduğu söylenebilir.

6. Çoklu Doğrusal Bağlantı için F Testi

$\displaystyle {k_i}$ yardımcı modelin katsayı adeti (4) ve n yardımcı modeli tahmin etmek için kullanılan gözlem sayısı (6) olmak üzere, VIF kriterlerini hesaplamak için kullanılan $\displaystyle R_i^2$ değerleri yardımıyla F istatistiği aşağıdaki şekilde hesaplanır.

$\displaystyle {F_i} = \frac{{{{R_i^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{R_i^2} {\left( {{k_i} - 1} \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {{k_i} - 1} \right)}}}}{{{{\left( {1 - R_i^2} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 - R_i^2} \right)} {\left( {n - {k_i}} \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {n - {k_i}} \right)}}}}$

${X_1} = {\hat a_0} + {\hat a_2}{X_2} + {\hat a_3}{X_3} + {\hat a_4}{X_4} + \hat u$

Aşağıdaki gibi tüm X’lerin hata teriminin içinde temsil edildiği, yani X kısıtlarının empoze edildiği sadece sabit terimden ve hata teriminden oluşan yeni bir model oluşturulur.

${X_1} = {\hat \theta _0} + \hat \kappa$

$\kappa = {a_2}{X_2} + {a_3}{X_3} + {a_4}{X_4} + u$

Boş hipotezde $\displaystyle R_1^2$ ’in değerinin sıfıra eşit olduğu, alternatif hipotezde de $\displaystyle R_1^2$ ’in değerinin sıfırdan farklı olduğu önermeleri yer alır.

$\displaystyle {H_0}:R_1^2 = 0$

$\displaystyle {H_1}:R_1^2 \ne 0$

Boş hipotez yardımcı modelin anlamsız olduğunu, yani ${X_1}$ değişkenini diğer X değişkenlerinin açıklayamadığını, dolayısıyla ${X_1}$ değişkeninin çoklu doğrusal bağlantı sorununa neden olmadığını ifade eder.

Alternatif hipotez ise yardımcı modelin anlamsız olduğunu, yani ${X_1}$ değişkenini diğer X değişkenlerinin açıklayabildiğini, dolayısıyla ${X_1}$ değişkeninin çoklu doğrusal bağlantı sorununa neden olduğunu ifade eder.

${k_1} = 4{\text{ ve }}n = 6$ olarak bilinen değerler F istatistiğinin hesaplanmasında ve F-Tablo değerinin belirlenmesinde yardımcı olur.

$\displaystyle F_{\alpha ,{\text{ }}\left( {{k_i} - 1} \right),{\text{ }}\left( {n - {k_i}} \right)}^{Tablo} = F_{0,05,{\text{ }}\left( {4 - 1} \right),{\text{ }}\left( {6 - 4} \right)}^{Tablo} = 19,2$ olur.

$\displaystyle {F_1} = \frac{{{{R_1^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{R_1^2} {\left( {{k_1} - 1} \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {{k_1} - 1} \right)}}}}{{{{\left( {1 - R_1^2} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 - R_1^2} \right)} {\left( {n - {k_1}} \right)}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\left( {n - {k_1}} \right)}}}}$

$\displaystyle {F_1} = 1074800654263280,00*{10^{15}}$

$\displaystyle {F_1} > F_{0,05,{\text{ }}\left( 3 \right),{\text{ }}\left( 2 \right)}^{Tablo}$ olduğundan $\displaystyle {H_0}$ reddedilir. Bu durumda yardımcı modelin $\displaystyle R_1^2$ değerinin sıfırdan farklı olduğu, dolayısıyla $\displaystyle {X_1}$ değişkeninin çoklu doğrusal bağlantı sorununa neden olduğu söylenebilir.

Yukarıdaki adımların aynısı diğer X değişkenlerinin bağımlı değişken olduğu diğer yardımcı modeller için de tek tek uygulanır.

${X_2} = {\hat b_0} + {\hat b_1}{X_1} + {\hat b_3}{X_3} + {\hat b_4}{X_4} + \hat w$

$\displaystyle {H_0}:R_2^2 = 0$

$\displaystyle {H_1}:R_2^2 \ne 0$

${k_2} = 4{\text{ ve }}n = 6$ olduğundan,

$\displaystyle {F_2} = 204518679379951,00*{10^{15}}$

$\displaystyle {F_2} > F_{0,05,{\text{ }}\left( 3 \right),{\text{ }}\left( 2 \right)}^{Tablo}$ olduğundan $\displaystyle {H_0}$ reddedilir. Bu durumda yardımcı modelin $\displaystyle R_2^2$ değerinin sıfırdan farklı olduğu, dolayısıyla $\displaystyle {X_3}$ değişkeninin de çoklu doğrusal bağlantı sorununa neden olduğu söylenebilir.

${X_3} = {\hat c_0} + {\hat c_1}{X_1} + {\hat c_2}{X_2} + {\hat c_4}{X_4} + \hat \psi$

$\displaystyle {H_0}:R_3^2 = 0$

$\displaystyle {H_1}:R_3^2 \ne 0$

${k_3} = 4{\text{ ve }}n = 6$ olduğundan,

$\displaystyle {F_3} = 261,73$

$\displaystyle {F_3} > F_{0,05,{\text{ }}\left( 3 \right),{\text{ }}\left( 2 \right)}^{Tablo}$ olduğundan $\displaystyle {H_0}$ reddedilir. Bu durumda yardımcı modelin $\displaystyle R_3^2$ değerinin sıfırdan farklı olduğu, dolayısıyla $\displaystyle {X_2}$ değişkeninin de çoklu doğrusal bağlantı sorununa neden olduğu söylenebilir.

${X_4} = {\hat d_0} + {\hat d_1}{X_1} + {\hat d_2}{X_2} + {\hat d_3}{X_3} + \hat \omega$

$\displaystyle {H_0}:R_4^2 = 0$

$\displaystyle {H_1}:R_4^2 \ne 0$

${k_4} = 4{\text{ ve }}n = 6$ olduğundan,

$\displaystyle {F_4} = 0,74$

$\displaystyle {F_4} < F_{0,05,{\text{ }}\left( 3 \right),{\text{ }}\left( 2 \right)}^{Tablo}$ olduğundan $\displaystyle {H_0}$ kabul edilir. Bu durumda yardımcı modelin $\displaystyle R_4^2$ değerinin sıfıra eşit olduğu, dolayısıyla $\displaystyle {X_4}$ değişkeninin çoklu doğrusal bağlantı sorununa neden olmadığı söylenebilir.

7. Çoklu Doğrusal Bağlantı için Çözüm Yolları

Bir modelde çoklu doğrusal bağlantı önemli derecede ise aşağıdaki çözüm yolları uygulanabilir.

Hiçbir şey yapılmayıp görmezden gelinebilir.
Çoklu doğrusallığa neden olan değişken modelden çıkarılabilir.
Çoklu doğrusallığa neden olan değişken biliniyorsa ön bilgi yöntemi uygulanabilir.
Modeldeki değişkenler dönüştürülebilir.
Yatay kesit ve zaman serisi verileri birleştirilerek yeni bir veri seti ile tahmin yapılabilir.
Doğrusal olmayan, yani polinomal bir model kurulabilir.
Faktör analizi, ana bileşenler, ridge regresyon gibi diğer alternatif çözüm yolları uygulanabilir.

Diğer alternatif çözüm yollarının detaylarına girilmeden ilk dört maddenin açıklaması aşağıda kısaca yapılmıştır.

Çoklu doğrusal bağlantı sorununun esaslı bir sorun olmadığını düşünenler için çoklu doğrusallığı görmezden gelmek bir çözüm olabilir. Böyle bir yaklaşımda iken çoklu doğrusallık nedeni ile düşük çıkan t-istatistiklerine bakılarak katsayı tahminlerinin anlamsız olduğu sonucuna varılmamalıdır.
Örneğimizde $\displaystyle {X_2}$ ile $\displaystyle {X_1}$ arasında $\displaystyle {X_2} = 0,2.{X_1}$ şeklinde deterministik bir ilişki olup tam çoklu doğrusal bağlantıya yol açmaktaydı. $\displaystyle {X_2}$ değişkeninden kaynaklanan çoklu doğrusallığı ortadan kaldırmak için $\displaystyle {X_2}$ değişkeni basitçe modelden çıkarılabilir.

$\displaystyle Y = {\beta _0} + {\beta _1}{X_1} + {\beta _2}{X_2} + {\beta _3}{X_3} + {\beta _4}{X_4} + \varepsilon$

$\displaystyle Y = {\alpha _0} + {\alpha _1}{X_1} + {\alpha _3}{X_3} + {\alpha _4}{X_4} + u$

Örneğimizde $\displaystyle {X_3}$ ile $\displaystyle {X_1}$ arasında $\displaystyle {X_3} = 2.{X_1} + u$ şeklinde korelasyonu yüksek stokastik bir ilişki olup çoklu doğrusal bağlantıya yol açmaktaydı. $\displaystyle {X_3}$ değişkeninden kaynaklanan çoklu doğrusallığı ortadan kaldırmak ya da önemliliğini düşürmek için $\displaystyle {X_3}$ değişkeninin katsayısı $\displaystyle {\alpha _3} = 0,5{\alpha _1}$ şeklinde $\displaystyle {\alpha _1}$ ’in belirli bir çarpanı olduğu kabul edilerek modele dahil edilir.